Równanie kwadratowe

Wykres funkcji kwadratowej zmiennej rzeczywistej przy zmianie różnych współczynników.

Równanie kwadratowe – równanie algebraiczne z jedną niewiadomą w drugiej potędze i opcjonalnie niższych. Innymi słowy równanie wielomianowe drugiego stopnia, czyli równanie postaci

$ax^2 + bx + c = 0,\,$

gdzie $a, b, c$ są jego współczynnikami rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego ciała. Zakłada się, że $a \ne 0$, dzięki czemu równanie nie degeneruje się do równania liniowego. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: kwadratowym, liniowym i stałym (bądź wyrazem wolnym).

Inną nazwą równania kwadratowego jest równanie drugiego stopnia.

Rozwiązania

Rozwiązaniem równania kwadratowego

$ax^2 + bx + c = 0\,$

nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce $x$ daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w postaci iloczynowej, tzn.

$a(x - x_1)(x - x_2) = 0,\,$

dla pewnych liczb $x_1, x_2,$ to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb $x_1, x_2,$ gdyż podstawiona zamiast $x$ sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru.

W szczególności może być $x_1 = x_2,$ wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest

$a(x - x_1)^2 = 0.\,$

Wyróżnik

Ponieważ

$\begin{align} ax^2 + bx + c & = a\left(x^2 + \tfrac{bx}{a} + \tfrac{c}{a}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{xb}{a} + \tfrac{4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{2xb}{2a} + \tfrac{4ac - b^2}{4a^2} + \tfrac{b^2}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{2xb}{2a} + \tfrac{b^2}{4a^2} - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left((x + \tfrac{b}{2a})^2 - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x + \tfrac{b}{2a} - \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(x + \tfrac{b}{2a} + \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) = \\ & = a\left(x - \tfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(x - \tfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \end{align}$

(piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

oraz

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

Wyrażenie

$\Delta = b^2 - 4ac\,$

nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli $\Delta = 0,$ to

$x_1 = x_2 = \tfrac{-b}{2a}.$

Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy $\Delta < 0,$ to

$\sqrt\Delta = i\sqrt{4ac - b^2},$

gdzie $i$ jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi $\tfrac{-b}{2a}.$ Jeżeli $\Delta > 0,$ to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem $\tfrac{-b}{2a}.$ Przypadki dla $\Delta \ne 0$ można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi $\tfrac{-b}{2a}$ (por. wzory Viète'a).

Przykłady różnych znaków wyróżnika:
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile $\Delta \geqslant 0.$ Dokładniej, jeśli:

• $\Delta > 0,$ to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste);
• $\Delta = 0,$ to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty);
• $\Delta < 0,$ to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami $\mathbb Z_p,$ gdzie $p$ jest pewną liczbą pierwszą większą od 2.

Przykłady

• Równanie

$-2x^2 + 3x - 1 = 0\,$

ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy

$3^2 - 4(-2)(-1) = 1 > 0.\,$

Są nimi $x_1 = \tfrac{1}{2}$ oraz $x_2 = 1.$

• Równanie

$x^2 + 2x = -4\,$

po uporządkowaniu ma postać

$x^2 + 2x + 4 = 0.\,$

Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0,\,$

jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ $\Delta = -12 = 12i^2,$ to rozwiązania mają postać

$x_{1, 2} = -1 \pm \sqrt 3i.\,$

• Równanie

$4x^2 + 4x + 1 = 0\,$

ma jedno rozwiązanie $x = -\tfrac{1}{2},$ gdyż wyróżnik

$4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0.\,$

Wzory skróconego mnożenia

Równania kwadratowe można niekiedy przedstawić w postaci iloczynowej wprost ze wzorów skróconego mnożenia.

Przykłady

• Równanie

$x^2 + 2x + 1 = 0$

można zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jako

$(x + 1)^2 = 0,$

wtedy $x = -1$ jest jedynym rozwiązaniem spełniającym powyższą równość.

• Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów równanie

$4x^2 - 1 = 0$

jest tożsame równaniu

$(2x - 1)(2x + 1) = 0,$

skąd musi być

$2x - 1 = 0$ lub $2x + 1 = 0,$

tzn. rozwiązaniami jest każda z liczb

$x = \tfrac{1}{2}$ oraz $x = -\tfrac{1}{2}.$

Wzory Viète'a

Znając jedno rozwiązanie można wskazać drugie korzystając z tzw. wzorów Viète'a, które dla wielomianu $ax^2 + bx + c$ mają postać

$\begin{cases} x_1 x_2 = \frac{c}{a} \\ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}. \end{cases}$

Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu

$x^2 + bx + c$

spełniają równości $b = u + v$ i $c = uv,$ to można go zapisać jako

$(x + u)(x + v).$

Oznacza to, że rozwiązaniami równania

$x^2 + bx + c = 0,$

którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby

$x_1 = -u$ oraz $x_2 = -v.$

Przykłady

• Równanie

$x^2 + 5x + 6 = 0$

daje się przedstawić w postaci

$(x + 2)(x + 3) = 0,$

skąd otrzymuje się rozwiązania

$x_1 = -2$ oraz $x_2 = -3.$

• Równanie

$x^2 - 5x - 6 = 0$

można zapisać jako

$(x + 1)(x - 6) = 0,$

co oznacza, że rozwiązaniami są liczby

$x_1 = -1$ oraz $x_2 = 6.$

Dopełnianie do kwadratu

Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech

$x^2 + bx + d = 0$

będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli

$x^2 + bx + c = (x - t)^2,$

to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:

$x^2 + bx + c - c + d = 0,$

skąd

$(x - t)^2 - (c - d) = 0,$

a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się

$(x - t - \sqrt{c - d})(x - t + \sqrt{c - d}) = 0,$

co daje rozwiązania

$x = t + \sqrt{c - d}$ oraz $x = t - \sqrt{c - d}.$

Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy $c - d > 0.$

Przykłady

• Równanie

$x^2 - 4x + 2 = 0$

jest tożsame następującemu

$x^2 - 2 \cdot 2x + 4 - 4 + 2 = 0,$

kontynuując uzyskuje się

$(x - 2)^2 - 2 = 0,$

co jest równoważne

$(x - 2)^2 - (\sqrt 2)^2 = 0$

oraz

$(x - 2 - \sqrt 2)(x - 2 + \sqrt 2) = 0,$

a więc rozwiązaniami są

$x_1 = 2 + \sqrt 2$ oraz $x_2 = 2 - \sqrt 2.$

Współczynniki całkowite

Istnieje prosta metoda wyznaczania pierwiastków wymiernych równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych, czyli postaci

$ax^2 + bx + c = 0$,

gdzie $a, b, c$ są liczbami całkowitymi (jeżeli są liczbami wymiernymi, spośród których choć jedna nie jest całkowita, to równanie można pomnożyć stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników uzyskując równanie równoważne, tj. o jednakowym zbiorze rozwiązań). Dokładniej:

Jeżeli liczba wymierna $p/q$, gdzie $p$ i $q \ne 0$ są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego,to $p$ jest dzielnikiem $c$, a $q$ jest dzielnikiem $a$.

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.

Przykłady

• Rozwiązaniami wymiernymi równania

$2x^2 - 7x + 5 = 0$

mogą być tylko liczby należące do zbioru $\{-5, -1, 1, 5, 5/2, -5/2\}$. Podstawiając $x = -5$ otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie $x = 5$ daje $20 \ne 0$; liczba $x = -1$ podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość $14$; liczba $x = 1$ jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest $5/2$).

Inne

Jeżeli suma współczynników równania

$ax^2 + bx + c = 0$

jest równa zeru, tzn. $a + b + c = 0,$ to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba $1$ (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli $-a + b - c = 0,$ to liczba $-1$ jest pierwiastkiem tego równania.

Przykład

Równanie

$7x^2 - x - 8 = 0$

na mocy powyższego faktu ma pierwiastek równy $-1.$

Zobacz też

• funkcja kwadratowa
• równanie liniowe
• równanie sześcienne
• równanie czwartego stopnia (równanie dwukwadratowe)