Równanie kwadratowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy równań kwadratowych i ich rozwiązań. Zobacz też: funkcja kwadratowa, gdzie opisano wielomiany kwadratowe w szerszym kontekście.
Wykres funkcji kwadratowej zmiennej rzeczywistej przy zmianie różnych współczynników.

Równanie kwadratowerównanie algebraiczne z jedną niewiadomą w drugiej potędze i opcjonalnie niższych. Innymi słowy równanie wielomianowe drugiego stopnia, czyli równanie postaci

ax^2 + bx + c = 0,\,

gdzie a, b, c są jego współczynnikami rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego ciała. Zakłada się, że a \ne 0, dzięki czemu równanie nie degeneruje się do równania liniowego. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: kwadratowym, liniowym i stałym (bądź wyrazem wolnym).

Inną nazwą równania kwadratowego jest równanie drugiego stopnia.

Rozwiązania[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: równaniewielomian.

Rozwiązaniem równania kwadratowego

ax^2 + bx + c = 0\,

nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce x daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w postaci iloczynowej, tzn.

a(x - x_1)(x - x_2) = 0,\,

dla pewnych liczb x_1, x_2, to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb x_1, x_2, gdyż podstawiona zamiast x sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru.

W szczególności może być x_1 = x_2, wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest

a(x - x_1)^2 = 0.\,

Wyróżnik[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: wyróżnik.

Ponieważ


\begin{align} ax^2 + bx + c & = a\left(x^2 + \tfrac{bx}{a} + \tfrac{c}{a}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{xb}{a} + \tfrac{4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{2xb}{2a} + \tfrac{4ac - b^2}{4a^2} + \tfrac{b^2}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x^2 + \tfrac{2xb}{2a} + \tfrac{b^2}{4a^2} - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left((x + \tfrac{b}{2a})^2 - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right) = \\ & = a\left(x + \tfrac{b}{2a} - \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(x + \tfrac{b}{2a} + \tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) = \\ & = a\left(x - \tfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(x - \tfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \end{align}

(piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości

x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

oraz

x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

Wyrażenie

\Delta = b^2 - 4ac\,

nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli \Delta = 0, to

x_1 = x_2 = \tfrac{-b}{2a}.

Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy \Delta < 0, to

\sqrt\Delta = i\sqrt{4ac - b^2},

gdzie i jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi \tfrac{-b}{2a}. Jeżeli \Delta > 0, to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem \tfrac{-b}{2a}. Przypadki dla \Delta \ne 0 można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi \tfrac{-b}{2a} (por. wzory Viète'a).

Przykłady różnych znaków wyróżnika:
<0: x2+12
=0: −43x2+43x13
>0: 32x2+12x43

Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile \Delta \geqslant 0. Dokładniej, jeśli:

  • \Delta > 0, to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste);
  • \Delta = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty);
  • \Delta < 0, to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami \mathbb Z_p, gdzie p jest pewną liczbą pierwszą większą od 2.

Przykłady
  • Równanie
-2x^2 + 3x - 1 = 0\,
ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy
3^2 - 4(-2)(-1) = 1 > 0.\,
Są nimi x_1 = \tfrac{1}{2} oraz x_2 = 1.
  • Równanie
x^2 + 2x = -4\,
po uporządkowaniu ma postać
x^2 + 2x + 4 = 0.\,
Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0,\,
jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ \Delta = -12 = 12i^2, to rozwiązania mają postać
x_{1, 2} = -1 \pm \sqrt 3i.\,
  • Równanie
4x^2 + 4x + 1 = 0\,
ma jedno rozwiązanie x = -\tfrac{1}{2}, gdyż wyróżnik
4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0.\,

Wzory skróconego mnożenia[edytuj | edytuj kod]

Równania kwadratowe można niekiedy przedstawić w postaci iloczynowej wprost ze wzorów skróconego mnożenia.

Przykłady
  • Równanie
x^2 + 2x + 1 = 0
można zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jako
(x + 1)^2 = 0,
wtedy x = -1 jest jedynym rozwiązaniem spełniającym powyższą równość.
  • Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów równanie
4x^2 - 1 = 0
jest tożsame równaniu
(2x - 1)(2x + 1) = 0,
skąd musi być
2x - 1 = 0 lub 2x + 1 = 0,
tzn. rozwiązaniami jest każda z liczb
x = \tfrac{1}{2} oraz x = -\tfrac{1}{2}.

Wzory Viète'a[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: wzory Viète'a.

Znając jedno rozwiązanie można wskazać drugie korzystając z tzw. wzorów Viète'a, które dla wielomianu ax^2 + bx + c mają postać

\begin{cases} x_1 x_2 = \frac{c}{a} \\ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}. \end{cases}

Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu

x^2 + bx + c

spełniają równości b = u + v i c = uv, to można go zapisać jako

(x + u)(x + v).

Oznacza to, że rozwiązaniami równania

x^2 + bx + c = 0,

którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby

x_1 = -u oraz x_2 = -v.
Przykłady
  • Równanie
x^2 + 5x + 6 = 0
daje się przedstawić w postaci
(x + 2)(x + 3) = 0,
skąd otrzymuje się rozwiązania
x_1 = -2 oraz x_2 = -3.
  • Równanie
x^2 - 5x - 6 = 0
można zapisać jako
(x + 1)(x - 6) = 0,
co oznacza, że rozwiązaniami są liczby
x_1 = -1 oraz x_2 = 6.

Dopełnianie do kwadratu[edytuj | edytuj kod]

Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech

x^2 + bx + d = 0

będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli

x^2 + bx + c = (x - t)^2,

to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:

x^2 + bx + c - c + d = 0,

skąd

(x - t)^2 - (c - d) = 0,

a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się

(x - t - \sqrt{c - d})(x - t + \sqrt{c - d}) = 0,

co daje rozwiązania

x = t + \sqrt{c - d} oraz x = t - \sqrt{c - d}.

Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy c - d > 0.

Przykłady
  • Równanie
x^2 - 4x + 2 = 0
jest tożsame następującemu
x^2 - 2 \cdot 2x + 4 - 4 + 2 = 0,
kontynuując uzyskuje się
(x - 2)^2 - 2 = 0,
co jest równoważne
(x - 2)^2 - (\sqrt 2)^2 = 0
oraz
(x - 2 - \sqrt 2)(x - 2 + \sqrt 2) = 0,
a więc rozwiązaniami są
x_1 = 2 + \sqrt 2 oraz x_2 = 2 - \sqrt 2.

Współczynniki całkowite[edytuj | edytuj kod]

Istnieje prosta metoda wyznaczania pierwiastków wymiernych równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych, czyli postaci

ax^2 + bx + c = 0,

gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi (jeżeli są liczbami wymiernymi, spośród których choć jedna nie jest całkowita, to równanie można pomnożyć stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników uzyskując równanie równoważne, tj. o jednakowym zbiorze rozwiązań). Dokładniej:

Jeżeli liczba wymierna p/q, gdzie p i q \ne 0względnie pierwszymi liczbami całkowitymi (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego,to p jest dzielnikiem c, a q jest dzielnikiem a.

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.

Przykłady
  • Rozwiązaniami wymiernymi równania
2x^2 - 7x + 5 = 0
mogą być tylko liczby należące do zbioru \{-5, -1, 1, 5, 5/2, -5/2\}. Podstawiając x = -5 otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie x = 5 daje 20 \ne 0; liczba x = -1 podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość 14; liczba x = 1 jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest 5/2).

Inne[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli suma współczynników równania

ax^2 + bx + c = 0

jest równa zeru, tzn. a + b + c = 0, to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba 1 (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli -a + b - c = 0, to liczba -1 jest pierwiastkiem tego równania.

Przykład
Równanie
7x^2 - x - 8 = 0
na mocy powyższego faktu ma pierwiastek równy -1.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Wikibooks-logo.svg
Zobacz publikację na Wikibooks:
Równania kwadratowe

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]