Zmienne zależna i niezależna

Zmienne zależna i niezależne – w matematyce i statystyce sposób odróżniania dwóch rodzajów wielkości:

• te, które są dostępne od początku procesu i przez niego ukonstytuowane nazywane są zmiennymi niezależnymi;

• te, które pojawiają się później i są w ten sposób zależne od poprzednich nazywa się zmiennymi zależnymi.

W matematyce zmienne zależne rozumie się zwykle jako funkcje zmiennych niezależnych.

Przykład 1.

Rozważmy taką sytuację z punktu widzenia mechaniki klasycznej:

Jeżeli kamień zostanie rzucony pionowo w górę, to wraz z upływem czasu (oznaczonym przez zmienną t) będzie się zmieniała jego odległość od ziemi (oznaczona przez zmienną h). Zatem zmienna h wyraźnie zależy od zmiennej t, gdyż odległość kamienia od ziemi zależy od momentu, w którym ją zmierzymy. Natomiast nie zachodzi relacja odwrotna tzn. niezależnie od odległości kamienia od ziemi, czas płynie zawsze tak samo, czyli zmienna t nie zależy od zmiennej h. Zatem t jest zmienną niezależną natomiast h jest zmienną zależną (od zmiennej t).

Można znaleźć dokładniejszy związek pomiędzy czasem i odległością kamienia od ziemi i zapisać w postaci wzoru matematycznego przyjmując pewne założenia upraszczające (takie jak między innymi brak oporu powierza) dostając takie równanie:

$h(t)=v_0t-gt^2/2$

gdzie $v_0$ to prędkość pionowa z jaką kamień został wyrzucony z powierzchni ziemi, natomiast $g$ to przyspieszenie ziemskie. W ten sposób przyjmując pewne założenia upraszczające rzeczywistość (prosty model fizyczny) znaleźliśmy użyteczny w pewnych sytuacjach (z praktycznego punktu widzenia) związek zmiennej niezależnej t i zależnej h.

Przykład 2.

Dane równanie $s=vt$ w interpretacji fizycznej ruchu zawiera w sobie dwie zmienne zależne: $s=s(t)$ oraz $v=v(t)$. Oznacza to, że przebyta droga $s$ oraz prędkość $v$ są zależne od czasu i można, a nawet należy te wielkości rozpatrywać jako pewne funkcje czasu. Ostatecznie pełna forma przybierze postać

$s(t)=v(t) \cdot t$.

Podobnie w równaniach różniczkowych rozpatrywać można przyrosty (różniczki) względem parametrów. W zapisie równań różniczkowych ze zmiennymi zależnymi i niezależnymi

${ds(t) \over dt} = {dv(t) \over dt} \cdot t + v(t) \cdot 1 = {dv(t) \over dt} t + v(t)$,

lub w notacji kropkowej – kropka nad znakiem oznacza różniczkę danego wyrażenia względem zmiennej niezależnej

$\dot s=\dot v t + v$

Zobacz też

• równanie różniczkowe
• zmienna