Dyskusja wikipedysty:Googl

2004-2005 2006 2007 2008

Zdarza mi się edytować i brać nieregularne przerwy. Jeżeli nie jestem aktywny a sprawa jest pilna, możesz użyć e-maila. googl d 22:14, 1 sie 2009 (CEST)

Zbiór wielorodzajowy

Cześć, znasz może to pojęcie? Nie widzę go nigdzie poza wikipedią, nie widzę też w internecie żadnego "multitype set", "multisort set", czy "multikind set", brak źródeł, brak interwiki. W dodatku ja nie bardzo widzę sens istnienia tego pojęcia, bo przecież aksjomat sumy zawsze pozwala stworzyć sumę dowolnych zbiorów także różnych rodzajów i na tej sumie oprzeć dowolną strukturę algebraiczną. Chyba że to coś z teorii kategorii lub teorii typów, gdzie nie zawsze taka operacja jest sensowna/możliwa. Pozdrawiam, Olaf @ 22:01, 11 mar 2009 (CET)

Przestrzeń kartezjańska

Zajrzałbyś do Dyskusja:Przestrzeń euklidesowa#Przestrze.C5.84_kartezja.C5.84ska? Pozdrawiam, Markotek (dyskusja) 15:14, 22 maj 2009 (CEST)

dyskusja:grupa multiplikatywna

Nie wiem, czy masz ochotę się mieszać do tej dyskusji. Jeśli tak, zajrzyj. Pozdrawiam, Markotek (dyskusja) 14:11, 7 lip 2009 (CEST)

Prawdopopodobieństwo

Wydaje mi się, że to odrobinę co innego:

• prawdopodobieństwo to wszystko, co spełnia aksjomaty Kołmogorowa
• miara probabilistyczna to jeden z modeli tej aksjomatyki.

Ale sprawdzę potem w źródłach, teraz muszę do pracy. Pozdrawiam, Olaf @ 07:56, 16 lip 2009 (CEST)

mi wydaje się, że istnieje kilka ciekawych definicji prawdopodobieństwa, w tym definicja kołgomorowa, która korzysta z teorii miary – definiuje on mianowicie miarę probabilistyczną, która spełnia własności wymagane od prawdopodobieństwa (były też częstościowa von Misesa i klasyczna Laplace'a wspomniane w artykule; one też spełniały własności prawdopodobieństwa). konrad ^mów! 19:50, 16 lip 2009 (CEST)

Można wziąć aksjomaty Kołmogorowa i określić prawdopodobieństwo na jakiejś innej algebrze Boole'a, niekoniecznie na algebrze zbiorów zdarzeń elementarnych, a np. na zdaniach logicznych. Coś takiego było badane już przez Kołmogorowa, w tej książce jest trochę więcej na ten temat. W tym sensie wersja z miarą określoną na zbiorach zdarzeń elementarnych jest tylko pewnym modelem aksjomatyki Kołmogorowa (o czym pisałem rano).

Nie wziąłem tylko pod uwagę, że nawet prawdopodobieństwo określone na innej algebrze Boole'a jest ciągle nazywane miarą unormowaną, więc prawdopodobieństwo w sensie Kołmogorowa i miara probabilistyczna to jednak to samo. :-)

Jest jeszcze klasyczna definicja prawdopodobieństwa, ale to w zasadzie to samo co prawdopodobieństwo Kołmogorowa dla skończonej przestrzeni zdarzeń elementarnych.

Prawdopodobieństwo można też jednak określić inaczej, niezgodnie z aksjomatami Kołmogorowa. Kiedyś dyskutowano o tym, czy na pewno ta addytywność musi być przeliczalna. Są też bardziej egzotyczne pomysły, Feller wspomina np. o intuicyjnym pojęciu prawdopodobieństwa, "związanym z rozumowaniem indukcyjnym i sądami takimi jak 'Paweł jest prawdopodobnie szczęśliwym człowiekiem'". Podobno to intuicyjne pojęcie daje się jakoś ściśle aksjomatyzować, jest nawet odwołanie do matematycznej pracy B.O. Koopmana The Axioms and Algebra of Intuitive Probability, Annals of Mathematics (2), 41 (1940), str. 262-292. Wtedy pewnie prawdopodobieństwo, choć ściśle określone, przestaje być miarą probabilistyczną.

Są też jeszcze dziksze pomysły, np. proponowano określanie prawdopodobieństwa liczbami zespolonymi (ktoś tam twierdził, że to przydatne w mechanice kwantowej...).

W regresji logistycznej stosuje się o praktyczniejszą metodę kodowania prawdopodobieństwa jako liczby $[0,\infty )$ zwanej szansą (ang. odds). Pozwala to używać modeli liniowych bez obaw, że prawdopodobieństwo przekroczy 1. Prawie codziennie widuję w pracy modele, które to wykorzystują. Ta wersja prawdopodobieństwa także nie jest miarą probabilistyczną, ale można argumentować że to tylko funkcyjne przekształcenie.

Z drugiej strony nie każda miara unormowana koniecznie musi być interpretowana jako prawdopodobieństwo i pewnie dlatego w artykule miara probabilistyczna mamy "może ona służyć do określania prawdopodobieństwa". W mechanice kwantowej np. w zależności od interpretacji kwadrat modułu funkcji falowej jest albo prawdopodobieństwem zdarzenia (klasyczna szkoła kopenhaska), albo zupełnie deterministyczną cechą świata (np. interpretacja Bohma). W tym drugim przypadku, mimo że kwadrat modułu funkcji falowej spełnia wszelkie aksjomaty miary unormowanej, nie jest uważany za prawdopodobieństwo. Pozdrawiam, Olaf @ 23:20, 16 lip 2009 (CEST)

Artykuł miara (matematyka) też trzeba by trochę przerobić, bo nawet Encyklopedia Szkolna (str. 283) podaje, że miary dzielą się na przeliczalnie addytywne i skończenie addytywne, a my mamy tylko przeliczalnie addytywny wariant, więc np. miara Jordana na płaszczyźnie nie jest według Wikipedii miarą. :-/ Tylko czasu nie mam, żeby wszystko napisać i poprawić. Wówczas oczywiście w definicji prawdopodobieństwa trzeba by dodać, że ta unormowana miara musi być przeliczalnie addytywna. Dobranoc, Olaf @ 00:52, 17 lip 2009 (CEST)

sam spotkałem się wyłącznie z definicją, że miara musi być przeliczalnie addytywna. czy jeżeli funkcja jest przeliczalnie addytywna, to nie jest również i skończenie addytywna? konrad ^mów! 01:57, 17 lip 2009 (CEST)

Olaf marudzi ;-) W artykule o mierze jest wzmianka o mierze skończenie addytywnej. Do Konradka: tak, przeliczalnie addytywna jest skończenie addytywna, ale odwrotnie nie. W związku z czym miara Jordana jako skończenie addytywna nie jest przeliczalnie addytywna, więc nie jest miarą w sensie głównej definicji artykułu miara (matematyka). Markotek (dyskusja) 09:59, 17 lip 2009 (CEST)

twierdzenie

sam bym tego nie wymyślił, a skądś musiałem wziąć jego sformułowanie – a skoro plik leżał na wierzchu... można by to przepisać, ale może zamiast tego lepiej po prostu dopisać źródło? konrad ^mów! 13:50, 16 lip 2009 (CEST)

Ciekawe, Konradowi udało się 7 lutego 2007 splagiatować tekst wrzucony 18 września 2008... No chyba że wcześniej leżała tam jakaś starsza wersja. Pozdrawiam, Markotek (dyskusja) 14:03, 16 lip 2009 (CEST)

po prostu to ja jestem jego autorem... przepisałem treść, mam nadzieję, że teraz lepiej. pozdrawiam, konrad ^mów! 19:45, 16 lip 2009 (CEST)

Re liczby pierwsze

Czy to, że 1 nie jest liczbą pierwszą wymaga jakichś motywacji? Przecież nie jest liczbą pierwszą, bo taka jest definicja - każda liczba pierwsza musi mieć dokładnie dwa dzielniki naturalne czyli definicja nie przewiduje "podwójnego" dzielnika w postaci jedynki 1. Zresztą wolałbym nie mieć takich wątpliwych motywacji, które przy okazji wprowadzają wysoce abstrakcyjne pojęcie pustego iloczynu tzn. iloczynu z zerową ilością czynników. Takimi pojęciami nie należy się bawić podczas elementarnego wprowadzania pojęcia na początku artykułu.

Poza tym przyzwyczaiłem się do tego, że w pierścieniach z rozkładem w niemal co drugim twierdzeniu pojawia się założenie o elementach, iż są niezerowe i nieodwracalne (czyli dla liczb naturalnych sprowadza się do warunku „>1” ). No i lubię definicję mówiącą, że niezerowy element jest rozkładalny, gdy jest iloczynem dwóch elementów nieodwracalnych (czyli większych od 1).

Pozdrowienia

--H. Kozera (dyskusja) 17:10, 26 lip 2009 (CEST)

Re Re liczby pierwsze

No nie wiem.

Mentalne skreślanie czynników w wyrażeniu ${\tfrac {1}{2}}\cdot 2$ niewiele ma wspólnego z mnożeniem zeroargumentowym, bo

${\tfrac {1}{2}}\cdot 2={\tfrac {1}{1\cdot 2}}\cdot (1\cdot 2)={\tfrac {1}{1}}\cdot (1)=1$

i korzysta się tu wyłącznie z tego, że 1 jest elementem neutralnym mnożenia.

Gdy tak przyjrzeć się definicji na mnożenie wielu czynników, które znalazłem w haśle Mnożenie

$prod(a_{1})=a_{1}\,$

$prod(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n+1})=a_{1}\cdot prod(a_{2},a_{3}\dots ,a_{n+1})$ dla $n>0$

to jest to w istocie zupełnie nowa funkcja. Pomijam już, że argumentacja (trudno ją nazwać jakimkolwiek dowodem), iż :$prod()=1\,$ jest mało poważna. To tak jakbyś dowodził, że 0! =1, gdy tymczasem to się przyjmuje z definicji. A formalnie rzecz biorąc funkcja zeroargumentowa to po prostu stała.

To, co zdefiniowałeś indukcyjnie, jest w istocie funkcją określoną na nieskończonej potędze kartezjańskiej zbioru liczbowego, obciętą to tych (nieskończonych) ciągów, które od pewnego miejsca począwszy mają same jedynki. Czyli funkcję prod zdefiniowałeś na ciągach postaci $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},1,1,1,\dots )\,$ przy czym narzucasz (bo to sam napisałeś), że $prod(a_{1},1,1,1,\dots )=a_{1}\,$ i próbujesz w dziwny sposób uzasadnić zamiast również narzucić $prod(1,1,1,1,\dots )=1\,$.

A przecież tu chodzi o „zwykłe” dwuargumentowe działanie.

Nie wydaje Ci się, że to strasznie sztuczny i wygibuśny zabieg przeprowadzony tylko po to, aby móc stwierdzić, że twierdzenie o rozkładzie na czynniki pierwsze zachodzi także dla 1. Mnie to na prawdę przypomina strzelanie z armaty do muchy. Twierdzenie i na etapie formułowania i na etapie dowodu powinny być oszczędne w słowach i użytych pojęciach (brzytewka Okhama?).

Motywacja jest świetnym narzędziem dydaktycznym, jest też turbodoładowaniem w procesie poszukiwania rozwiązań gdy bada się rzecz po omacku. Nie jest to jednak żadne narzędzie przy prezentowaniu jakiejś dyscypliny szczególnie matematycznej. Najpierw przyjmujemy definicję i aksjomaty a potem na ich podstawie dowodzimy twierdzeń. Nie uzasadniamy definicji i aksjomatów w systemach dedukcyjnych jakimiś motywacjami. Jeśli już, to uzasadniamy je budując modele teorii.

A 1 nie jest liczbą pierwszą, bo w przeciwnym razie 5 byłoby liczbą złożoną, skoro $5=1\cdot 5$. Ba nawet liczba pierwsza 1 byłaby jednocześnie złożona, skoro $1=1\cdot 1$. I w ogóle nie dałoby się sensownie zdefiniować jednoznaczności rozkładu na czynniki nierozkładalne, rozkładów stowarzyszonych i niestowarzyszonych.

pozdrawiam

--H. Kozera (dyskusja) 00:53, 27 lip 2009 (CEST)

Mamma mia!!!

Ty chyba nie rozumiesz trzech rzeczy.

• Nie rozumiesz, że zwrot „skreślanie” nie jest pojęciem matematycznym a jedynie zwrotem ze slangu uczniowsko-nauczycielskiego. To tylko tak graficznie wygląda, jakby coś się skreślało, wymazywało. W rzeczywistości jest to stosowanie pewnych twierdzeń z rachunku ciała ułamków (np. mnożeniem licznika i mianownika przez odwrotność tej samej liczby, albo - oszczędniej - z pewnego twierdzenia z teorii grup mówiącego kiedy z ab=ad wynika b=d). Podobnie nie ma czegoś takiego, jak przenoszenie wyrazu ze zmienionym znakiem na drugą stronę równania, bo tak naprawdę jest to dodawanie do obu stron odpowiednio dobranego wyrazu.

• Nie rozumiesz, czym jest indukcja matematyczna. Nie rozumiesz, że każda definicja, dowód, w których pojawia się zmienna naturalna startuje z pewnego brzegowego warunku i ściśle określa, co się dzieje przy przejściu od i do i+1 dla i niemniejszego od owej brzegowej wartości. Indukcja właśnie tak działa, że „będziemy za każdym razem robić wyjątki "bo dla zera to nie działa"”, dla zera musimy „to” założyć.
  Przypominam, że funkcja silnia ! jest funkcją jednej zmiennej naturalnej zdefiniowaną indukcyjnie i błędnie bierzesz poglądowy zapis $n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$ za jej definicję! Podobnie funkcja $a^{n}\,$ jest funkcją dwóch zmiennych $f(a,n)\,$ zdefiniowaną indukcyjnie (ze względu na n), a nie n zmiennych - jak błędnie sądzisz czytając zapis $a^{n}=aa...a\,$ ($n\,$ razy)!

• W matematyce funkcja ma ściśle określoną ilość argumentów. I Twoja próba zamiany symbolu $\prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}$ na funkcję prod jest mało poważna z punktu widzenia matematyki. Na en:null product przynajmniej tę funkcję zdefiniowano na zbiorze wszystkich ciągów skończonych, tj. argumentem funkcji 1-argumentowej prod jest jakiś ciąg elementów (być może pusty). Przynajmniej tyle. Chyba odróżniasz taką funkcję od funkcji określonej na jednym bądź np. na trzech argumentach. Jeśli uważasz, że przejście od mnożenia jako działania 2-argumentowego czyli funkcji określonej na zbiorze par do funkcji określonej na zbiorze wszystkich skończonych ciągów jest nic nie znaczącym zabiegiem formalnym i w ogóle nie komplikuje sprawy, to gratuluję wyobraźni. W każdym razie żadnej łaski nie zrobiłeś wprowadzając prod zapisem prefiksowym, trudno to zrobić infiksowo dla funkcji 1-argumentowej.

Zajrzałem do całka Lebesgue'a, ideał (teoria mnogości) i zauważyłem, że tam tzw. intuicje są zebrane w jednym miejscu a nie wymieszane z treściami matematycznymi.

To co robisz i co sam nazywasz „moja matematyka” graniczy z OR albo z twórczym rozwijaniem czyjegoś OR. Wskaż jakąś polską poważną pozycję matematyczną, w której coś takiego się robi, albo popraw/usuń te bzdety z hasła MNOŻENIE.

pozdrawiam

--H. Kozera (dyskusja) 09:47, 28 lip 2009 (CEST)

Tego jeszcze nie było; w 100% zgadzam sie z H. Kozerą! Szczególnie z ostatnim zdaniem, pozdrawiam --Raq0 (dyskusja) 11:44, 28 lip 2009 (CEST)

Zamykam temat indukcji

• Nie jest tak źle, coś tam w tych gimnazjach i liceach się definiuje i dowodzi. Można znaleźć całkiem dobre definicje np. figur geometrycznych i całkiem dobre dowody niektórych prostych twierdzeń np. z geometrii. I wbrew temu, co twierdzisz, matematyka jednak zaczyna się już szkole podstawowej. Kiedy ktoś idzie na studia raczej już dobrze wie, co to jest definicja, jak ją budować i jak ją stosować. Na ogół wie, co to jest dowód i nierzadko potrafi samodzielnie dowody wymyślać. Uprawianie matematyki na studiach musi - czy tego chcesz czy nie - bazować na intuicjach wyniesionych z niższych szkół, a jeśli takie szkoły nie wypełnią tych zadań, to delikwent na studia po prostu nie trafi.
  Twoje stwierdzenie „a jak można dowodzić lub coś liczyć jak się nie zna definicji (tam występują "definicje" a nie definicje).” brzmi zaskakująco. Z tego co ja wiem, to ludzie liczyli (choćby na palcach) na długo zanim zaczęły ich intrygować problemy definicyjne liczb. Zresztą dowodzić też można nie mając pojęcia o matematyce - wielokrotnie dowodzono (np. procesach przed Świętym Oficium), że ktoś jest grzesznikiem, bo stosowano definicję grzechu z Dekalogu lub Katechizmu. Definicja wcale nie musi być sformalizowana, aby była użyteczna.
  Zapewniasz, że dobrze to rozumiesz, iż „skreślanie” jest jedynie terminem ze slangu uczniowskiego a w gruncie rzeczy chodzi o poprawną i ścisłą z punktu widzenia matematyki (algebry) obróbkę ułamków. Te zapewnienia są jednak dla mnie mało wiarygodne, skoro nie możesz sobie poradzić z uproszczeniem wyrażenia ${\tfrac {1}{2}}\cdot 2\cdot x$ bez stosowania tych Twoich iloczynów zeroczynnikowych (patrz Twoja przedostatnia wypowiedź).

• Pokornie przyznaję, że w jednym mnie przyłapałeś – w zacytowanym przez Ciebie moim zdaniu zabrakło przymiotnika „wolne”, miało być „zmienne wolne”. Reszta Twojej wypowiedzi z tego punktu to popisowa i efektowna próba ucieczki od wynikłego problemu.
  „bo liczby naturalne nie kończą się na PA.” Otóż kończą się i zaczynają zarazem. Chodzi o aksjomatykę Peany II rzędu, która jest teorią kategoryczną. I wszystkie inne aksjomatyki do niej się odnoszą, a ich modele są z nią izomorficzne.
  Korzystając z równoważności zasady indukcji z faktem, że każdy podzbiór zbioru $\mathbb {N}$ ma element pierwszy chcesz mnie przekonać, że "nie trzeba korzystać z indukcji". Jakbyś się jednak nie obrócił, to plecy zawsze będziesz miał z tyłu - zawsze wrócisz do tradycyjnej i użytecznej postaci indukcji. W Twoich przykładach przecież występuje zbiór $\mathbb {N}$ albo jawnie albo w postaci ciągów indeksowanych zbiorem $\mathbb {N}$. No i każdy zbiór skończony można zanurzyć w $\mathbb {N}$.
  Tak jak każdy podzbiór zbioru $\mathbb {N}$ ma element pierwszy, tak indukcja zawsze musi „startować” o jakiegoś początku. Jej „start” można na ogół opóźnić, nie można jednak bezkarnie cofać przed początek. A Ty najwyraźniej nie traktujesz tego zakazu poważnie. Gdybyś wcześniej uważnie przepisał fragment z en:null product do hasła mnożenie:

In general, we define ${\text{prod}}(())=1$ and ${\text{prod}}((a_{i})_{i\leq n})={\text{prod}}((a_{i})_{i\leq n-1})\times a_{n}$.

{{Cytat}} Brakujące pola: treść. Przestarzałe pola: 1.

to nie próbowałbyś udowadniać/uzasadniać pierwszej części definicji, którą tam podano.
I podobnie nie proponowałbyś komicznej argumentacji podczas ewentualnego „dowodzenia”, że 0!=1. Bo w przypadku silni ta funkcja tak naprawdę zaczyna się od 1 tj. 1!=1, (n+1)!=n!n dla n>=1. Szczęśliwy zbieg arytmetycznych okoliczności pozwala cofnąć się z indukcyjną definicją o jeden, musimy jednak definicyjnie narzucić sensowną wartość dla 0. Dalsze cofanie jest już niemożliwe z tych samych arytmetycznych powodów (jakakolwiek wartość dla (-1)! pomnożona przez 0 nie może dać 0!=1). Coś mi mówi, że gdybym Ciebie zapytał, dlaczego nie da się określić (-1)!, to pewnie powiedziałbyś, że nie da się, bo mielibyśmy ujemną (!) ilość czynników. Przecież stosujesz definicję $n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$
Przy okazji mam pytanie, jak rozumiesz/odczytujesz $n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n-1\cdot n$ ? Co to w ogóle wg Ciebie znaczy? Co tu wg Ciebie robią te kropki? Z tego, co do tej pory do mnie napisałeś wnoszę, że zupełnie nie dostrzegasz, iż to jest wspaniała graficzna prezentacja tej tradycyjnej dwuczęściowej zasady indukcji, w każdym razie dla mnie jest to analogia do notacji różniczkowej Leibnitza, niezbyt ścisłej ale jakże sugestywnej. Przecież przyglądając się temu napisowi łatwo można w nim dostrzec, że wyrażenia przed trzema kropkami to ta pierwsza, „startowa” część indukcji a po trzech kropkach to jej druga część. Stosujesz (jak wcześniej to napisałeś) te napisy w „swoich” definicjach np. w definicji silni, a nie dostrzegasz ich indukcyjności w tradycyjnym sensie.

• Tu nie chodzi o ilość nawiasów użytych w napisach, ale o ścisłe rozróżnienie, skąd brane są argumenty. Z potęgi kartezjańskiej (pierwszej, drugiej, trzeciej…) czy też ze zbioru wszystkich ciągów skończonych? Wprawdzie oba zbiory są tej samej mocy (identycznej z mocą wyjściowego nieskończonego zbioru liczbowego) ale drugie podejście jest lepsze, bo pozwala wprowadzić wspólną funkcję jednej zmiennej. W pierwszym podejściu musiałby to być ciąg funkcji, w którym i-ta funkcja ma i argumentów.
  Zresztą to może nie jest aż tak ważne. Ważniejsze jest, abyś się zdecydował, czy chodzi o funkcję czy o symbol, a z Twojej ostatniej wypowiedzi wynika, że jednak symbol. Jeśli więc ma to być symbol, to czai się tu groźna pułapka, gdy podejdziemy do sprawy czysto syntaktycznie.
  Jeśli $\prod _{1}^{n}x$ dla n>=1 ma być skrótem napisu $n\cdot n\cdot ...\cdot n\,$ ($n\,$ razy) to próba wykorzystania tego skrótu dla n=0 da następujący efekt: $\prod _{1}^{0}x$ jest „skrótem” napisu pustego. Pustego! To taki odpowiednik Twojego pustego ciągu. Zanim pójdziemy dalej tym tropem zauważmy, że napis pusty jest w każdym miejscu tekstu. Albo nigdzie, jeśli przyjąć, że napis pusty (podobnie jak zbiór pusty) jest jeden jedyny na świecie w bliżej nieokreślonym miejscu. W tym drugim przypadku w zasadzie nie mogę tego skrótu w ogóle zastosować, ale w pierwszym mogę go wstawić gdziekolwiek np. do napisu $+1=+1\,$ między znakami „=” i „+”. W efekcie dostaniemy napis $+1=\prod _{1}^{0}x+1$. Próba zinterpretowanie tego napisu może dać nieoczekiwane efekty.

Na końcu swojej ostatniej wypowiedzi napisałeś, że u Langa $x^{0}=e$ jest wnioskiem z definicji $x^{n}=\prod _{1}^{n}x$. Przejrzałem wzmiankowaną przez Ciebie Algebrę S. Langa PWN W-wa 1973 i faktycznie w paragrafie Półgrupy znalazłem trzy fragmenty na str. 19, 20, 21 mówiące o iloczynie n elementów półgrupy (ty nazywasz je monoidami). Przejrzałem i nie dopatrzyłem się nigdzie, jakoby coś było wnioskiem czegoś. Postanowiłem specjalnie dla Ciebie (masz to na wyłączność) objaśnić i zrecenzować te fragmenty.

Str.19:

Niech G będzie półgrupą z jedynką, a $x_{1},\dots ,x_{n}\,$ niech będą elementami półgrupy G (gdzie n jest liczbą większą od 1). Określmy ich iloczyn przez indukcję:$\prod _{\alpha =1}^{n}x_{\alpha }=x_{1}\dots x_{n}=(x_{1}\dots x_{n-1})x_{n}$

{{Cytat}} Brakujące pola: treść. Przestarzałe pola: 1..

Autor wspaniale sygnalizuje indukcyjny charakter tej definicji. Jednak aż się prosi, aby tę linijkę uzupełnił do postaci

$\prod _{\alpha =1}^{n}x_{\alpha }=x_{1}\dots x_{n}=(x_{1}\dots x_{n-1})x_{n}=(\prod _{\alpha =1}^{n-1}x_{\alpha })x_{n}$ dla $n>1\,$

Przez to, że umieścił w jednej linijce indukcyjny wzór, musiał założyć n>1, a przez to chyba zapomniał wspomnieć o przypadku n=1. Drobne potknięcie. Powinien tę definicję razem z przypadkiem n=1 przedstawić w takiej postaci:

$\prod _{\alpha =1}^{n}x_{\alpha }={\begin{cases}x_{1}\dots x_{n}&{\mbox{ gdy }}n>1\\x_{1}&{\mbox{ gdy }}n=1\end{cases}}$

I dalej na str. 20 mamy następną definicję (to jest nowa definicja będąca warunkiem brzegowym)

Dogodnie jest przyjąć , że iloczyn pusty równa się jedynce. Tak więc, $\prod _{\alpha =1}^{0}=e$

{{Cytat}} Brakujące pola: treść. Przestarzałe pola: 1.

Połączenie obu definicji iloczynu daje efekt w postaci nowej, obszerniejszej definicji indukcyjnej z podwójnym warunkiem brzegowym:

$\prod _{\alpha =1}^{n}x_{\alpha }={\begin{cases}x_{1}\dots x_{n}&{\mbox{ gdy }}n>1\\x_{1}&{\mbox{ gdy }}n=1\\e&{\mbox{ gdy }}n=0\end{cases}}$

Nawiązując do tego, co wcześniej pisałem pierwsza linijka (z trzema kropkami) tej definicji jest sama kompletną dwuczęściową definicją indukcyjną startującą od n=2. Gdyby zamiast $x_{1}\dots x_{n}$ było $(\prod _{\alpha =1}^{n-1}x_{\alpha })x_{n}$), to mielibyśmy jedynie drugą część indukcji (przejście od n-1 do n). W każdym razie druga i trzecia linijka cofają start tej indukcji o dwa.

Na str. 21 autor wykorzystuje powyższą definicję dla przypadku, gdy $x_{\alpha }\,$ są identyczne, do zdefiniowania potęgi elementu z półgrupy G (indeksy dolne są już pomijane):

Niech x będzie elementem półgrupy G. Dla każdego całkowitego n≥0 określamy $x^{n}\,$ jako $\prod _{\alpha =1}^{n}x$, czyli w szczególności mamy $x^{0}=e,x^{1}=x,x^{2}=xx,\dots \,$.

{{Cytat}} Brakujące pola: treść. Przestarzałe pola: 1. Równość $x^{0}=e\,$ nie jest więc wnioskiem, ale szczególnym przypadkiem definicji $x^{n}=\prod _{\alpha =1}^{n}x$, która określona jest dla n≥0 i która powołuje się definicję poprzednią.

Wniosek wnosi (nomen omen) nowe treści, wniosek wymaga pewnego rozumowania (choćby nawet trywialnego). A szczególny przypadek to zawężenie zakresu formuły, to podstawienie pod zmienną zdaniową albo liczbową jakiejś stałej. Równość $x^{0}=e\,$ jest szczególnym przypadkiem wcześniej dobrze wprowadzonej definicji obejmującej ten przypadek. Tak więc używanie przez Ciebie określenia „wniosek” wobec równości $x^{0}=e\,$ jest wyjątkowo mylące i nieszczęśliwe i każe podejrzewać, że albo nie rozumiesz słowa „wniosek” albo nie rozumiesz konstrukcji powyższej definicji. A powtarzanie przez Ciebie podobnych rzeczy w kontekście silni każą mi jeszcze mocniej powątpiewać, czy rozumiesz, co to jest indukcja.

Zachodzę w głowę, jak to możliwe, że z jednej strony zapuszczasz się w nietrywialne działy teorii mnogości a z drugiej strony masz pewne problemy z właściwym odczytaniem tej definicji.

Już mi się nie chce o tym pisać.

Pozdrawiam

H. Kozera (dyskusja) 12:19, 1 sie 2009 (CEST)

Jeszcze w temacie

Nie należy wołać „wniosek” na szczególny przypadek definicji z tych samych powodów, dla których nie woła się „twierdzenie” na aksjomat. Jest to mylące, to powoduje zamieszanie. Ale w zasadzie masz rację, niby czemu nie. Niby wszystko jest w porządku - aksjomat też jest twierdzeniem, szczególny przypadek można potraktować jak wniosek. Przecież wystarczy, że założymy $\alpha \,$ i powołamy się na tautologię $\alpha \Rightarrow \alpha$ (jest to jeden z aksjomatów rachunku zdań). Korzystając z reguły odrywania

${\frac {\alpha ,\alpha \Rightarrow \alpha }{\alpha }}$

uzyskamy wniosek $\alpha \,$.

Tylko czy to jest powód do triumfu? Czy pusty dowód można nazywać dowodem. Czy efekt takiego rozumowania godzi się nazywać twierdzeniem/wnioskiem? Aby nie dać wciągnąć się w ten bezsensowny semantyczny spór, wrócę do początku.

1.

Przypomnę Ci Twoje słowa

(...) fakt $0!=1\,$ podlega (...) dowodowi (...) bo mam jako definicję silni: $n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$ zamiast takiej w której przypadek 0! jest jakiś wyjątkowy.

{{Cytat}} Brakujące pola: treść. Przestarzałe pola: 1.

Mam też jedną definicję potęgi o współczynniku całkowitym nieujemnym (w monoidzie) $a^{n}=aa...a\,$ ($n$ razy), zamiast takiej co ma dwa przypadki.

{{Cytat}} Brakujące pola: treść. Przestarzałe pola: 1.

Zapytany przeze mnie o źródła, w których tak się to robi podałeś mi Langa. Więc Ci wykazałem cytując Algebrę tegoż Langa, że tak u niego się nie robi. U niego definicja ma dwa przypadki. I cierpliwie próbowałem wtedy i jeszcze wcześniej wyjaśnić Ci, że ani z definicji $n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$ nie wywiedziesz $0!=1\,$ ani z definicji $a^{n}=aa...a\,$ nie wywiedziesz $a^{0}=1\,$. Są za słabe. Nie sprowadzisz do trywialnego rozumowania w rodzaju ${\frac {\alpha ,\alpha \Rightarrow \alpha }{\alpha }}$. Ja mam nawet wątpliwości, czy da się z nich wywieźć $1!=1\,$ i $a^{1}=a\,$, ponieważ wielokropek wyraźnie sugeruje istnienie co najmniej dwóch czynników w obu definicjach. I nawet jeśli jest ten przypadek jest dla Ciebie oczywisty, wcale nie jest to oczywiste, że można go pominąć w definicji.

2.

A jeśli chodzi o Twoje przytyki co do mojego zwrotu „wysoce abstrakcyjne” dotyczącego mnożenia wieloczynnikowego. Chociaż spodobała się Tobie metafora z brzytwą Ockhama najwyraźniej nie dostrzegasz tego, że złamałeś zasadę nazwaną jego imieniem „istnień ponad potrzebę nie mnożyć”. Powtórzę to (ostatni raz): mnożenie wieloczynnikowe jest nowym pojęciem nadbudowanym nad mnożeniem właściwym tj. dwuargumentowym. Jego poprawność i własności opierają się na mnożeniu właściwym np. to że możesz użyć sensownie zapisu $a_{1}\cdot a_{2}\cdot \dots \cdot a_{n}$ wynika z kilku własności mnożenia właściwego m.in. z jego określoności, jego łączności (brak nawiasów, możliwość mnożenia mnożeń wieloczynnikowych itd.). To pojęcie niczego nowego nie wnosi do matematyki poza zgrabnością zapisu, jest właściwie zupełnie zbędne do opowieści o liczbach naturalnych (a w artykule, od którego zaczęła się nasza polemika tj Liczby pierwsze, było użyte chyba tylko po to, aby pewne twierdzenie działało także dla 1). Ja rozumiem, że matematyka ma wyjątkową zdolność do mnożenia wszelkich bytów ponad wszelką potrzebę, wręcz lubuje się tym tworzeniem, ale w haśle encyklopedycznym to nie miejsce na popisywanie się takim tworami, tu należy przekazać pewną wiedzę minimalnymi środkami z maksymalną ścisłością.

pozdrowienia

--H. Kozera (dyskusja) 10:20, 3 sie 2009 (CEST)

Wandal

[1] --Mktoś532 ⚠ 21:11, 17 wrz 2009 (CEST)

Cydhie Genoside

Dlaczego usunięte? Nie przeszło przez głosowanie, tylko usunięte od razu. http://pl.wikipedia.org/wiki/Cydhie_Genoside

--Axelio (dyskusja) 19:04, 9 lut (CEST)

Potyczki Algorytmiczne

Gdarin dyskusja 16:58, 17 maj 2011 (CEST)

Ad:Aksjomaty_i_konstrukcje_liczb

Zgłosiłem to hasło do weryfikacji medalu, może będziesz się chciał wypowiedzieć. Gżdacz (dyskusja) 19:31, 21 cze 2014 (CEST)

Szereg izologiczny

Sławek Borewicz (dyskusja) 21:54, 23 lut 2018 (CET)