Przedłużenie analityczne

Rozszerzenie analityczne - w analizie zespolonej metoda rozszerzająca dziedzinę danej funkcji analitycznej. Dzięki tej metodzie udaję się uzyskać więcej rozwiązań z funkcji, która w np. w typowym rozwinięciu w szereg nieskończony jest rozbieżna lub nieciągła w zadanym początkowo otoczeniu.

Przykład

Dane są dwie funkcje analityczne

$f_{1}\colon D_{1}\to V_{1}$

$f_{2}\colon D_{2}\to V_{2}$

Jeśli istnieje niepusty zbiór $D_{1}\cap D_{2}$ taki, że

$f_{1}(D_{1}\cap D_{2})=f_{2}(D_{1}\cap D_{2})$

to można powiedzieć, że $f_{2}$ jest rozszerzeniem analitycznym $f_{1}$ i odwrotnie.

Zastosowanie

Popularnym sposobem na definiowanie funkcji w analizie zespolonej jest jej określenie na niewielkim obszarze a następnie jej poszerzeniu przez zastosowanie rozszerzenia analitycznego. W praktyce takie rozszerzenie jest wykonywane przez ustanowienie równania funkcyjnego na niewielkiej dziedzinie, które następnie jest zastosowane do rozszerzenia dziedziny. Przykładami mogą być funkcja dzeta Riemanna i funkcja Γ.

Początkowo zostało wprowadzone pojęcie przestrzeni nakrywającej aby zdefiniować naturalną dziedzinę rozszerzenia analitycznego funkcji analitycznej. Pomysł znalezienia największego rozszerzenia analitycznego funkcji doprowadził z kolei do rozwoju idei powierzchni Riemanna.

Linki zewnętrzne

• Rozszerzenie analityczne na PlanetMath. (ang.)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Rozszerzenie analityczne, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). (ang.)