Powierzchnia Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Powierzchnia Riemanna - rozmaitość dwuwymiarowa, która lokalnie wygląda jak płaszczyzna zespolona; jednowymiarowa rozmaitość zespolona. Inaczej mówiąc, na powierzchnie Riemanna można patrzeć jak na rodziny otwartych podzbiorów płaszczyzny zespolonej sklejonych ze sobą poprzez funkcje holomorficzne. Powierzchniami Riemanna po raz pierwszy zajmował się niemiecki matematyk Bernhard Riemann; od niego wzięły swoją nazwę.

Dwywymiarowa rzeczywista rozmaitość może zostać przekształcona w powierzchnię Riemanna (zazwyczaj na kilka nierównoważnych sposobów) wtedy i tylko wtedy gdy jest orientowalna. Wynika stąd, że sfera i torus dopuszczają struktury zespolone, natomiast wstęga Möbiusa i butelka Kleina - nie.

Wprowadzenie pojęć[edytuj | edytuj kod]

  • Dwuwymiarową rozmaitość topologiczną nazywamy powierzchnią.
  • Niech X będzie powierzchnią spójną. Rodzinę \mathcal{U}=(U_t, z_t)_{t\in T} nazywamy atlasem (zespolonym) powierzchni X, gdy
    • zbiory U_t,\, t\in T są otwartymi podzbiorami X
    • \bigcup\{U_t\colon\, t\in T\}=X,
    • odwzorowania z_t\colon U_t\to \mathbb{C}homeomorfizmami (na swój obraz)
    • jeśli s,t\in T są takie, że U_s\cap U_t\neq\varnothing, to odwzorowanie zdefiniowane poniżej jest funkcją holomorficzną
z_s\circ z_t^{-1}\colon z_t(U_s\cap U_t)\to z_s(U_s\cap U_t).
  • Jeśli \mathcal{U}=(U_t, z_t)_{t\in T} jest atlasem zespolonym, to funkcje z_t nazywamy lokalnymi współrzędnymi (powierzchni) natomiast, pary (U_t, z_t) nazywamy natomiast lokalnymi ścieżkami.
  • Dwa atlasy \mathcal{U} i \mathcal{V} nazywamy równoważnymi, gdy zbiór \mathcal{U}\cup \mathcal{V} jest atlasem. Jest to relacja równoważności w rodzinie atlasów powierzchni X. Rodzinę klas abstrakcji tej relacji nazywamy strukturą zespoloną powierzchni X.
  • Powierzchnią Riemanna nazywamy spójną powierzchnię wyposażoną w strukturę zespoloną.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Istnieje kilka równoważnych definicji powierzchni Riemanna.

  • Powierzchnia Riemanna X to rozmaitość zespolona wymiaru zespolonego 1. Oznacza to, że X jest hausdorffowską przestrzenią topologiczną wraz z atlasem (zbiorem map pokrywających rozmaitość topologiczną): dla każdego punktu xX istnieje otoczenie zawierające x homeomorficzne z kołem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej. Przekształcenie odwzorowujące strukturę płaszczyzny zespolonej na powierzchnię Riemanna jest nazywane mapą. Dodatkowo homeomorfizmy między dwoma nakładającymi się mapami (tzn. mającymi niepuste przecięcie obrazów) mają być holomorficzne.
  • Powierzchnia Riemanna to rozmaitość (rzeczywistego) wymiaru 2 – powierzchnia – wraz ze strukturą konforemną (wiernokątną). Ponownie rozmaitość oznacza, że lokalnie, w dowolnym punkcie xX przestrzeń ma mieć własności płaszczyzny rzeczywistej. Dodatek „Riemanna” podkreśla, że X jest wyposażona w dodatkową strukturę umożliwiającą mierzenie kątów na rozmaitości, dokładniej: klasę równoważności tzw. metryk riemannowskich. Dwie takie metryki uważane są za równoważne, jeżeli kąty, które mierzą, są równe. Wybranie klasy równoważności metryk na X to dodatkowa informacja o strukturze konforemnej.

Przejście od struktury zespolonej do struktury konforemnej możliwe jest poprzez wybranie standardowej metryki euklidesowej danej na płaszczyźnie zespolonej i przeniesienie jej na X za pomocą map. Pokazanie, że struktura konforemna określa strukturę zespoloną jest trudniejsze.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Każdy otwarty podzbiór powierzchni Riemanna będący powierzchnią sam jest również powierzchnią Riemanna.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]