Aksjomat zbioru potęgowego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Aksjomat zbioru potęgowego, AxP[1] – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla.

W postaci sformalizowanej aksjomat ten przybiera następującą postać[1]:

.

Można go również sformalizować inaczej[2]:

.

Jednakże w przeciwieństwie do poprzedniego zapisu sformułowanie to wykorzystuje symbol oznaczający relację inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim (bycia podzbiorem). Nie jest on pierwotnym pojęciem teorii zbiorów w ujęciu Zermela-Fraenkla, ale 2-argumentowym predykatem wymagającym odrębnej definicji [3].

Pewnik ten stwierdza, że dla każdego zbioru istnieje zbiór , którego elementami są wyłącznie podzbiory zbioru , inaczej mówiąc, każdy element zbioru jest podzbiorem zbioru (i każdy jego podzbiór należy do ) i do zbioru nie zalicza się ani jeden element, który by nie był podzbiorem zbioru . W ten sposób określony zbiór określa się mianem zbioru potęgowego zbioru [1]. Inaczej mówiąc, jest to zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru. Co więcej – istnieje tylko jeden taki zbiór. Zapisuje się go następująco dla dowolnego zbioru : . Zbiór ten można zdefiniować następująco, wykorzystując zapis sformalizowany[2]:

.

Przypisy

  1. a b c Nowak 2016 ↓, s. 92.
  2. a b Nowak 2016 ↓, s. 97.
  3. Nowak 2016 ↓, s. 93-94.

Bibliografia[edytuj]

  • Marek Nowak: Dowodzenie w arytmetyce liczb naturalnych i teorii zbiorów. W: Andrzej Indrzejczak, Marek Nowak: Metody logiki. Dedukcja. Łódź: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2016. ISBN 978-83-8088-359-8.