Aksjomat zbioru potęgowego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Aksjomat zbioru potęgowego, AxP[1] – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla.

W postaci sformalizowanej aksjomat ten przybiera następującą postać[1]:

.

Można go również sformalizować inaczej[2]:

.

Jednakże w przeciwieństwie do poprzedniego zapisu sformułowanie to wykorzystuje symbol oznaczający relację inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim (bycia podzbiorem). Nie jest on pierwotnym pojęciem teorii zbiorów w ujęciu Zermela-Fraenkla, ale 2-argumentowym predykatem wymagającym odrębnej definicji [3].

Aksjomat ten stwierdza, że dla każdego zbioru istnieje zbiór , którego elementami są dokładnie te, które są podzbiorami zbioru . Aksjomat ekstensjonalności zapewnia istnieje dokładnie jednego takiego zbioru. Zbiór nazywa się zbiorem potęgowym zbioru [1]. Jest to więc zbiór wszystkich podzbiorów zbioru . Oznacza się go .

Zbiór ten można w sposób sformalizowany scharakteryzować następująco: [2].

Teoria mnogości bez aksjomatu zbioru potęgowego[edytuj]

W matematyce rozważana jest niekiedy teoria ZF (bądź ZFC), tj. teoria mnogości, której aksjomatami są wszystkie aksjomaty ZF (ZFC) poza aksjomatem zbioru potęgowego. Andrzej Zarach wykazał[4], zakładając niesprzeczność ZFC, że istnieją modele ZF, w których suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych może być nieprzeliczalna (dokładniej – modele, w których liczba ω1 jest singularna), a także takie modele ZF, w których każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest przeliczalny, a mimo to liczba ω1 istnieje. V. Gitman, J. D. Hamkins oraz T. A. Johnstone wykazali[5], że analogiczne sytuacje mają miejsce w teorii ZFC.

Przypisy

  1. a b c Nowak 2016 ↓, s. 92.
  2. a b Nowak 2016 ↓, s. 97.
  3. Nowak 2016 ↓, s. 93-94.
  4. Andrzej Zarach, Unions of ZF-models which are themselves ZF-models. w: Logic Colloquium ’80 (Prague, 1980), Vol. 108 of Stud. Logic Foundations Math. ss. 315–342. North-Holland, Amsterdam, 1982.
  5. V. Gitman, J. D. Hamkins, T. A. Johnstone, What is the theory ZFC without power set?, MLQ. Math. Log. Q., 62, iss. 4-5 (2016), 391−406.

Bibliografia[edytuj]

  • Marek Nowak: Dowodzenie w arytmetyce liczb naturalnych i teorii zbiorów. W: Andrzej Indrzejczak, Marek Nowak: Metody logiki. Dedukcja. Łódź: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2016. ISBN 978-83-8088-359-8.