Aksjomat zbioru potęgowego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Aksjomat zbioru potęgowego, AxP[1] – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla.

W postaci sformalizowanej aksjomat ten przybiera następującą postać[1]:

Można go również sformalizować inaczej[2]:

Jednakże w przeciwieństwie do poprzedniego zapisu sformułowanie to wykorzystuje symbol oznaczający relację inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim (bycia podzbiorem). Nie jest on pierwotnym pojęciem teorii zbiorów w ujęciu Zermela-Fraenkla, ale 2-argumentowym predykatem wymagającym odrębnej definicji [3].

Aksjomat ten stwierdza, że dla każdego zbioru istnieje zbiór którego elementami są dokładnie te, które są podzbiorami zbioru Aksjomat ekstensjonalności zapewnia istnieje dokładnie jednego takiego zbioru. Zbiór nazywa się zbiorem potęgowym zbioru [1]. Jest to więc zbiór wszystkich podzbiorów zbioru Oznacza się go

Zbiór ten można w sposób sformalizowany scharakteryzować następująco: [2].

Teoria mnogości bez aksjomatu zbioru potęgowego[edytuj | edytuj kod]

W matematyce rozważana jest niekiedy teoria ZF (bądź ZFC), tj. teoria mnogości, której aksjomatami są wszystkie aksjomaty ZF (ZFC) poza aksjomatem zbioru potęgowego. Andrzej Zarach wykazał[4], zakładając niesprzeczność ZFC, że istnieją modele ZF, w których suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych może być nieprzeliczalna (dokładniej – modele, w których liczba jest singularna), a także takie modele ZF, w których każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest przeliczalny, a mimo to liczba istnieje. V. Gitman, J.D. Hamkins oraz T.A. Johnstone wykazali[5], że analogiczne sytuacje mają miejsce w teorii ZFC.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c Nowak 2016 ↓, s. 92.
  2. a b Nowak 2016 ↓, s. 97.
  3. Nowak 2016 ↓, s. 93–94.
  4. Andrzej Zarach, Unions of ZF-models which are themselves ZF-models. w: Logic Colloquium ’80 (Prague, 1980), Vol. 108 of Stud. Logic Foundations Math. s. 315–342. North-Holland, Amsterdam, 1982.
  5. V. Gitman, J.D. Hamkins, T.A. Johnstone, What is the theory ZFC without power set?, „MLQ. Math. Log. Q.”, 62, iss. 4–5 (2016), s. 391−406.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Marek Nowak: Dowodzenie w arytmetyce liczb naturalnych i teorii zbiorów. W: Andrzej Indrzejczak, Marek Nowak: Metody logiki. Dedukcja. Łódź: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2016. ISBN 978-83-8088-359-8.