Regularna liczba kardynalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Regularna liczba kardynalnanieskończona liczba kardynalna, która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.

W dalszej części tego artykułu zakładamy ZFC. (Bez AC, niektóre z definicji należy sformułować inaczej i niektóre stwierdzenia nie są prawdziwe).

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Pojęcia wstępne[edytuj | edytuj kod]

  • Liczba porządkowa \alpha jest początkową liczbą porządkową jeśli \alpha nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi.
  • Przy założeniu ZFC, każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalna – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez |A|.
  • Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to  \aleph_0, moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
  • Następnik liczby kardynalnej \kappa to pierwsza liczba kardynalna większa od \kappa (jest on oznaczany przez \kappa^+).
  • Kofinalność (albo współkońcowość) nieskończonej liczby kardynalnej \kappa to najmniejsza liczba kardynalna \mu taka, że każdy zbiór mocy \kappa może być przedstawiony jako suma \mu wielu zbiorów mocy mniejszej niż \kappa:
{\rm cf}(\kappa)=\min\Big\{\mu\in {\bold{CN}}\colon\, \kappa=\bigcup\{A_\alpha\colon\, \alpha<\mu\} dla pewnych zbiorów A_\alpha\subseteq\kappa o tej własności, że dla wszystkich \alpha<\mu zachodzi |A_\alpha|<\kappa\Big\}.
Warto zauważyć, że zdefiniowana powyżej współkońcowość liczby κ zgadza się z współkońcowością tej liczby jako porządku liniowego:
{\rm cf}(\kappa)=\min\{\alpha\in {\bold{ON}}: istnieje rosnący ciąg \langle\xi_\beta:\beta<\alpha\rangle taki że (\forall\beta<\alpha)(\xi_\beta<\kappa) oraz (\forall\zeta<\kappa)(\exists\beta<\alpha)(\zeta<\xi_\beta)\}.

Liczby regularne i liczby singularne[edytuj | edytuj kod]

Niech \kappa\geqslant\aleph_0 będzie liczbą kardynalną.

Jeśli {\rm cf}(\kappa)=\kappa to mówimy że \kappa jest liczbą regularną.

Jeśli {\rm cf}(\kappa)<\kappa to mówimy że \kappa jest liczbą singularną.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

  • \aleph_0,\aleph_1,\aleph_2 są liczbami regularnymi.
  • Każdy następnik kardynalny jest liczbą regularną.
  • \aleph_\omega jest najmniejszą liczbą singularną. Następną taką liczbą jest \aleph_{\omega+\omega}.
  • Jeśli \alpha jest graniczną liczbą porządkową, to {\rm cf}(\aleph_\alpha)={\rm cf}(\alpha). Zatem, dla granicznych \alpha, \aleph_\alpha jest regularną liczbą kardynalną wtedy i tylko wtedy gdy \aleph_\alpha=\alpha jest liczbą nieosiągalną.
  • Z punktu widzenia arytmetyki liczb kardynalnych, liczby regularne zachowują się całkowicie inaczej niż liczby singularne:
  • Zachowanie funkcji \kappa\mapsto 2^\kappa dla liczb regularnych jest ograniczone jedynie przez warunek \kappa<{\rm cf}(2^\kappa) i przez trywialny warunek \kappa < \lambda \Rightarrow 2^\kappa\leqslant 2^\lambda . Przypuśćmy mianowicie, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że \kappa<{\rm cf}({\bold{F}}(\kappa)) dla wszystkich regularnych \kappa. Wówczas jest niesprzecznym z ZFC, że 2^\kappa={\bold{F}}(\kappa) dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych \kappa.
  • Jeszcze nie rozumiemy do końca funkcji \kappa\mapsto 2^\kappa dla liczb singularnych. Teoria PCF demonstruje nietrywialne ograniczenia zachowania tej funkcji.
    Hipoteza liczb singularnych (SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej \kappa, jeśli 2^{{\rm cf}(\kappa)}<\kappa to \kappa^{{\rm cf}(\kappa)}=\kappa^+. Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję \kappa\mapsto 2^\kappa dla liczb regularnych. Naruszenie SCH jest związane z dużymi liczbami kardynalnymi: Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne w modelach wewnętrznych; a jeśli istnieją wystarczająco duże liczby kardynalne, można skonstruować modele naruszające SCH.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]