Regularna liczba kardynalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Regularna liczba kardynalnanieskończona liczba kardynalna, która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.

W dalszej części tego artykułu zakładamy ZFC. (Bez AC, niektóre z definicji należy sformułować inaczej i niektóre stwierdzenia nie są prawdziwe).

Definicje[edytuj]

Pojęcia wstępne[edytuj]

  • Liczba porządkowa jest początkową liczbą porządkową jeśli nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi.
  • Przy założeniu ZFC, każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalna – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez .
  • Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to , moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
  • Następnik liczby kardynalnej to pierwsza liczba kardynalna większa od (jest on oznaczany przez ).
  • Kofinalność (albo współkońcowość) nieskończonej liczby kardynalnej to najmniejsza liczba kardynalna taka, że każdy zbiór mocy może być przedstawiony jako suma wielu zbiorów mocy mniejszej niż :
dla pewnych zbiorów o tej własności, że dla wszystkich zachodzi .
Warto zauważyć, że zdefiniowana powyżej współkońcowość liczby κ zgadza się z współkońcowością tej liczby jako porządku liniowego:
istnieje rosnący ciąg taki że oraz .

Liczby regularne i liczby singularne[edytuj]

Niech będzie liczbą kardynalną.

Jeśli to mówimy że jest liczbą regularną.

Jeśli to mówimy że jest liczbą singularną.

Podstawowe własności[edytuj]

  • są liczbami regularnymi.
  • Każdy następnik kardynalny jest liczbą regularną.
  • jest najmniejszą liczbą singularną. Następną taką liczbą jest .
  • Jeśli jest graniczną liczbą porządkową, to . Zatem, dla granicznych , jest regularną liczbą kardynalną wtedy i tylko wtedy gdy jest liczbą nieosiągalną.
  • Z punktu widzenia arytmetyki liczb kardynalnych, liczby regularne zachowują się całkowicie inaczej niż liczby singularne:
    • Zachowanie funkcji dla liczb regularnych jest ograniczone jedynie przez warunek i przez trywialny warunek . Przypuśćmy mianowicie, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że dla wszystkich regularnych . Wówczas jest niesprzecznym z ZFC, że dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych .
    • Jeszcze nie rozumiemy do końca funkcji dla liczb singularnych. Teoria PCF demonstruje nietrywialne ograniczenia zachowania tej funkcji.
      Hipoteza liczb singularnych (SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej , jeśli to . Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję dla liczb regularnych. Naruszenie SCH jest związane z dużymi liczbami kardynalnymi: Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne w modelach wewnętrznych; a jeśli istnieją wystarczająco duże liczby kardynalne, można skonstruować modele naruszające SCH.

Zobacz też[edytuj]