Algebra AF

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Algebra AF (od ang. approximately finite-dimensional) – C*-algebra A zawierająca wstępujący ciąg skończenie wymiarowych pod-C*-algebr (Bn) (tj. BnBn + 1 dla każdej liczby naturalnej n), których suma jest gęsta w A, tzn.

Intuicyjnie, AF algebry to C*-algebry, które lokalnie wyglądają jak skończenie wymiarowe C*-algebry. Algebry AF są ważną klasą C*-algebr ze względu na fakt, że są klasyfikowalne przez K-teorię[1].

Charakteryzacja algebr AF[edytuj]

Dla ośrodkowej C*-algebry A następujące warunki są równoważne:

  1. A jest algebrą AF,
  2. A jest granicą prostą ciągu skończenie wymiarowych C*-algebr,
  3. dla każdego zbioru skończonego {a1, a2, ..., an} ⊆ A oraz każdego ε > 0 istnieje taka skończenie wymiarowa C*-algebra BA oraz elementy {b1, b2, ..., bn} ⊆ B, że

Podstawowe własności[edytuj]

Wprost z definicji, każda algebra AF jest ośrodkowa. Jako granice proste algebr skończenie wymiarowych, które są nuklearne, każda algebra AF jest również nuklearna. Podobnie, granice proste, ilorazy i iloczyny tensorowe algebr AF są również AF. Pod-C*-algebry algebr AF na ogół nie są AF, jednak dziedziczne podalgebry algebr AF są AF.

Brown[2] udowodnił, że jeżeli

jest krótkim ciągiem dokładnym C*-algebr oraz I i B są AF, to również A jest AF.

Jeżeli A i B są takimi dwiema C*-algebrami, że

,

gdzie K oznacza C*-algebrę operatorów zwartych na 2 oraz A jest AF, to B jest również AF. Rzeczywiście, AK jest AF, a więc również BK. Algebra B jest jednak izomorficzna z dziedziczną podalgebrą BK, więc jest AF.

Przykłady[edytuj]

Algebra operatorów zwartych na ośrodkowej przestrzeni Hilberta[edytuj]

Najprostszym przykładem algebry AF jest algebra K operatorów zwartych na 2. Jest ona wyznaczona przez ciąg inkluzji

Diagramem Bratellego algebry operatorów zwartych jest więc

Także algebrę K1 operatorów zwartych na 2 z dołączoną jedynką można uzyskać w podobny sposób rozważając ciąg

oraz *-homomorfizmy φn: BnBn+1 określone wzorami

Odpowiadającym diagramem Bratellego w tej sytuacji jest

Algebra stowarzyszona z ciągiem Fibonacciego[edytuj]

Niech f0, f1, f3, ... będzie ciągiem Fibonacciego, tj. f0 = f1 = 1 oraz fn = fn-1 + fn-2 dla n ≥ 2. Niech ponadto

oraz dane będą *-homomorfizmy φn: AnAn+1 określone wzorami

Granica prosta ciągu (An, φn) jest algebrą AF, której grupa K0 jest izomorficzna z

gdzie γ oznacza złoty podział.

Inną ważną klasą algebr AF są tzw. algebry UHF.

Przypisy

  1. G. A. Elliott, On the classification of inductive limits of sequences of semi-simple finite dimensional algebras, J. Algebra 38 (1976), 29--44.
  2. L.G. Brown, Extensions of AF algebras: The projection lifting problem, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 38, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1982.

Bibliografia[edytuj]

  • M. Rørdam, Classification of nuclear simple C*-algebras, w: Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras, Encyclopaedia Math. Sci. 126, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002.