Grupa przemienna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa przemienna (abelowa)grupa, w której działanie jest przemienne. Zwyczajowo, w przypadku grup przemiennych stosuje się zapis addytywny.

Nazwa abelowa pochodzi od nazwiska Nielsa Abela, norweskiego matematyka, w którego pracach implicite pojawia się to pojęcie. Grupę, która nie jest przemienna nazywamy nieprzemienną lub nieabelową.

Definicja[edytuj]

Grupę nazywamy abelową, gdy dla każdych zachodzi:

Przemienność
Łączność
Istnienie elementu neutralnego
Istnienie elementu przeciwnego
, gdzie jest elementem neutralnym

Przykłady[edytuj]

  • Każda grupa cykliczna jest abelowa, ponieważ dla zachodzi . Dlatego przemienne są liczby całkowite z dodawaniem, podobnie jak liczby całkowite modulo n (tzw. addytywna grupa klas reszt).
  • Każdy pierścień jest grupą abelową ze względu na działanie dodawania. W pierścieniu przemiennym elementy odwracalnemultiplikatywną grupą abelową. W szczególności grupa addytywna liczb rzeczywistych (tzn. z dodawaniem) jest grupą abelową, podobnie multiplikatywna (tzn. niezerowe z mnożeniem) jest abelowa.
  • Grupa symetryczna dla jest przemienna, co nie zachodzi już dla .
  • Grupa addytywna macierzy ustalonego wymiaru nad danym ciałem jest przemienna; jednakże macierze, nawet odwracalne, z mnożeniem nie są grupą abelową, ponieważ mnożenie macierzy nie jest w ogólności przemienne.
  • Grupa czwórkowa Kleina będąca najmniejszą niecykliczną grupą abelową.

Własności[edytuj]

  • Jeżeli jest przemienna, to dla każdego oraz zachodzi
    .
  • Każda podgrupa grupy abelowej jest normalna, dlatego z każdej z nich można utworzyć grupę ilorazową. Podgrupy, ilorazy i iloczyny proste grup przemiennych są przemienne.
  • Jeżeli jest liczbą naturalną, a elementem grupy abelowej w zapisie addytywnym, to można zdefiniować jako (n czynników) oraz . W ten sposób staje się modułem nad pierścieniem liczb całkowitych . W rzeczywistości, moduły nad mogą być utożsamiane z grupami abelowymi.
  • Twierdzenia o grupach abelowych (które są modułami nad dziedziną ideałów głównych ) mogą być częstokroć uogólnione do twierdzeń o modułach nad dowolnymi dziedzinami ideałów głównych. Typowym przykładem jest klasyfikacja skończenie generowanych grup abelowych.
  • Jeżeli homomorfizmami między grupami abelowymi, to ich suma określona „punktowo” wzorem również jest homomorfizmem. (Nie jest to prawdą, jeśli nie jest abelowa). Zbiór wszystkich homomorfizmów grupowych z w sam staje się grupą przemienną.
  • Podobnie do wymiaru przestrzeni liniowych, każda grupa przemienna ma rangę. Jest ona zdefiniowana jako liczba kardynalna największego zbioru liniowo niezależnych elementów grupy. Liczby całkowite i liczby wymierne, jak również każda podgrupa liczb wymiernych mają rangę równą jeden.
  • Jeżeli dla każdego zachodzi (rząd każdego elementu jest co najwyżej 2), to jest przemienna. Jeżeli dla każdego zachodzi i , to nie musi być abelowa (przykład to grupa macierzy kwadratowych , trójkątnych górnych, które na głównej przekątnej mają same jedynki, a nad główną przekątną mają elementy z ciała , gdzie jest liczbą pierwszą dzielącą n).

Skończone grupy przemienne[edytuj]

Twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych mówi, że każda skończona grupa przemienna może być wyrażona jako suma prosta podgrup cyklicznych rzędu będącego potęgą liczby pierwszej. Jest to przypadek szczególny twierdzenia o klasyfikacji skończenie generowanych grup przemiennych w przypadku, gdy rozważana grupa ma beztorsyjną rangę równą zeru.

Grupa jest izomorficzna z iloczynem prostym przez wtedy i tylko wtedy, gdy i względnie pierwsze.

Dlatego można zapisać dowolną skończoną grupę abelową jako iloczyn prosty postaci

na dwa różne sposoby:

  • gdzie liczby są potęgami liczb pierwszych
  • gdzie dzieli , które dzieli i tak dalej, aż do .

Na przykład może być wyrażona jako suma prosta dwóch podgrup cyklicznych rzędów odpowiednio 3 i 5: . To samo można powiedzieć o dowolnej grupie przemiennej rzędu 15, co prowadzi do ciekawego wniosku, iż wszystkie grupy przemienne rzędu 15 są izomorficzne.

Innym przykładem jest fakt, że każda grupa abelowa rzędu 8 jest izomorficzna z (liczby całkowite od 0 do 7 z dodawaniem modulo 8), (nieparzyste liczby całkowite od 1 do 15 z mnożeniem modulo 16) bądź .

Zobacz też listę małych grup zawierającą skończone grupy przemienne rzędu 16 lub mniejszego.

Automorfizmy skończonych grup przemiennych[edytuj]

Twierdzenie klasyfikacji można zastosować do zliczania (czasami również wyznaczenia) automorfizmów danej skończonej grupy przemiennej . Aby tego dokonać, należy skorzystać z faktu (który nie zostanie tu udowodniony), że jeżeli rozkłada się na sumę prostą podgrup o względnie pierwszych rzędach, to .

Wtedy twierdzenie o klasyfikacji mówi, że aby wyznaczyć grupę automorfizmów grupy wystarczy wyznaczyć grupy automorfizmów p-podgrup Sylowa (tj. wszystkich sum prostych podgrup cyklicznych, z których rząd każdej jest potęgą ). Dalej jest ustalone i założono, że wykładniki czynników cyklicznych p-podgrup Sylowa są ułożone w porządku rosnącym:

dla pewnego . Szukane są automorfizmy grupy

.

Przypadek szczególny, dla , czyli taki w którym istnieje tylko jeden cykliczny czynnik mający potęgę będącą liczbą pierwszą w p-podgrupie Sylowa . Wtedy można skorzystać z teorii automorfizmów skończonych grup cyklicznych. Kolejny przypadek szczególny obejmuje dowolne , ale dla . Tutaj jest postaci

,

tak więc elementy tej podgrupy można postrzegać jako składające się na n-wymiarową przestrzeń liniową nad skończonym ciałem o elementach . Automorfizmami tej grupy są więc odwracalne przekształcenia liniowe, dlatego

,

o których łatwo pokazuje się, że mają rząd

.

W najogólniejszym przypadku, gdzie tak , jak i są dowolne, wyznaczenie grupy automorfizmów jest trudniejsze. Wiadomo jednak, że zdefiniowanie

oraz

daje w szczególności , oraz

.

Można sprawdzić, że wzór ten uogólnia rzędy z poprzednich przykładów (zob. [Hillar, Rhea]).

Związki z innymi działami matematyki[edytuj]

Zbiór wszystkich grup abelowych wraz z homomorfizmem między nimi stanowi kategorię , prototyp kategorii abelowej.

Prawie wszystkie dobrze znane struktury algebraiczne różne od algebr Boole’a, są nierozstrzygalne. Dlatego zaskakującym jest, że studentka Alfreda Tarskiego, Wanda Szmielew, udowodniła (1955), że teoria pierwszego rzędu grup abelowych, w przeciwieństwie do nieabelowych, jest rozstrzygalna. Rozstrzygalność ta, wraz z podstawowym twierdzeniem skończonych grup przemiennych opisanych wyżej podkreślają pewne sukcesy teorii grup abelowych, jednakże nadal istnieje wiele obszarów w których prowadzi się badania:

  • wśród beztorsyjnych grupa abelowych skończonego rzędu, dobrze zrozumiane są tylko przypadki grup skończenie generowanych oraz rangi 1;
  • istnieje wiele nierozwiązalnych problemów w teorii beztorsyjnych grup abelowych nieskończonej rangi;
  • choć przeliczalne torsyjne grupy abelowe są dobrze rozumiane dzięki prostym przedstawieniom i niezmiennikom Ulma, to badania nad przeliczalnymi grupami mieszanymi są o wiele mniej zaawansowane;
  • o wielu łagodnych rozszerzeniach teorii pierwszego rzędu grup abelowych wiadomo jest, iż są nierozstrzygalne
  • Skończone grupy przemienne są przedmiotem badań obliczeniowej teorii grup.

Co więcej, grupy abelowe nieskończonego rzędu prowadzą, całkiem zaskakująco, do poważnych pytań dotyczących teorii mnogości o której powszechnie uważa się, że jest podstawą całej matematyki. Przykładem może być problem Whiteheada: czy wszystkie grupy Whiteheada nieskończonego rzędu są także grupami abelowymi wolnymi? W latach siedemdziesiątych ubiegłego wieku Saharon Shelah udowodnił następujące fakty o problemie Whiteheada:

Unormowane grupy abelowe[edytuj]

 Zobacz też: przestrzeń unormowana.

Pojęcie normy określanych na przestrzeniach liniowych można przenieść na grunt teorii grup abelowych. Odmienność struktury przestrzeni liniowej oraz grupy abelowej wymaga modyfikacji drugiego aksjomatu normy, jednak obydwa odwzorowania – normy przestrzeni liniowej i normy grupy abelowej – mają wiele korespondujących ze sobą własności i dlatego są ciekawe z punktu widzenia matematyki.

Niech będzie grupą abelową. Odwzorowanie które dla dowolnych spełnia warunki:

nazywa się normą grupy abelowej . Parę nazywa się unormowaną grupą abelową.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Fuchs, László (1970) Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press. xi+290 pp.
  • Fuchs, László (1973) Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press. ix+363 pp.
  • Hillar, Christopher oraz Rhea, Darren, Automorphisms of Finite Abelian Groups (Automorfizmy skończonych grup abelowych).
  • Szmielew, Wanda, Elementary properties of abelian groups (Podstawowe własności grup abelowych), „Fundamenta Mathematica” 41/1955, s. 203-71.