Krzywa pogoni

Konstrukcja prostej krzywej pogoni

Krzywa pogoni – krzywa matematyczna, określająca tor punktu („ścigający”), który zmierza zawsze w kierunku drugiego punktu („ścigany”), poruszającego się po pewnej wyznaczonej krzywej.

Prosta krzywa pogoni

Prosta krzywa pogoni określa najprostszy przypadek, w którym ścigany porusza się po prostej. Pierre Bouguer opisał ją po raz pierwszy w 1732 roku. Pierre Louis Maupertuis później rozważał także inne krzywe pogoni.

Definicja

Niech $A_{0}$ będzie punktem startowym „ściganego”, a $P_{0}$ punktem startowym „ścigającego”.

Niech punkt $A$ porusza się ruchem jednostajnym z prędkością $v=const$ w jakimś kierunku, a punkt $P$ z prędkością $w=const$ zawsze w kierunku punktu $A.$ Wówczas tor punktu $P$ to prosta krzywa pogoni.

Niech $k={\tfrac {v}{w}}.$

Krzywe pogoni dla różnych wartości parametru k

Równanie w kartezjańskim układzie współrzędnych

Niech $A_{0}=(0,0),P_{0}=(1,0)$ i $A$ porusza się wzdłuż osi $Y{:}$

$y(x)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x^{(1-k)}}{(1-k)}}-{\frac {1-x^{(1+k)}}{(1+k)}}\right)$ dla $k\neq 1$

$y(x)={\frac {1}{4}}\cdot \left({x^{2}}-\ln {x^{2}}-1\right)$ dla $k=1$

Wyprowadzenie

W dowolnym momencie „ścigany” znajduje się na stycznej do toru „ścigającego”, więc:

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}={\frac {-x}{a-y}},$

co prowadzi do równania różniczkowego:

$x+x'(a-y)=0,$

gdzie $x>0.$

Z $a=vt$ wynika:

${\frac {x}{x'}}+vt=y,$

po zróżniczkowaniu po $y{:}$

${\dot {y}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {v\cdot x'^{2}}{x\cdot x''}}$

Dalej stosowany jest wzór na długość łuku:

$l=wt=k\int _{0}^{y}{\sqrt {1+(x')^{2}}}\mathrm {d} y.$

Z $\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}=w^{2}\mathrm {d} t^{2}$ wynika, że:

${\dot {y}}={\frac {w}{\sqrt {1+x'^{2}}}}$

Podobnie wykonywane jest różniczkowanie po $x{:}$

$x''-k\cdot {\frac {x'^{2}}{x}}\cdot {\sqrt {1+x'^{2}}}=0.$

Rozwiązanie po podstawieniu

$u=y'={\frac {1}{x'}},\quad x''={\frac {-1}{u^{3}}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}$

prowadzi do:

${\frac {-\mathrm {d} u}{\sqrt {1+u^{2}}}}=k\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{x}},$

po scałkowaniu:

$\operatorname {arsinh} u=k\cdot \ln x+C,$

a następnie po zastosowaniu formalnej definicji sinh z $C_{1}=e^{C}$ otrzymuje się:

$y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2}}\left[(C_{1}\cdot x)^{k}-(C_{1}\cdot x)^{-k}\right].$

Ponownie całkuje się, ze stałą $C_{2}.$ Z warunku brzegowego:

$\left.{\tfrac {dy}{dx}}\right|_{x=1}=0$

wynika $C_{1}=1,$ więc z

$\left.y\right|_{x=1}=0$

wynika:

$C_{2}={\frac {k}{1-k^{2}}}$ względnie $C_{2}=-{\frac {1}{4}}$ dla $k=1,$

czyli:

$y(x)={\frac {1}{2}}\left({\tfrac {x^{(1+k)}}{(1+k)}}-\left\{{\begin{matrix}{\frac {x^{(1-k)}}{(1-k)}}\\\ln {|x|}\end{matrix}}\right\}\right)+\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{1-k^{2}}}\\-{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\right\}\ {\begin{cases}k\neq 1\\k=1\end{cases}}$

skąd wynikają wzory podane na początku.

Wyrażenie zależności odwrotnej $x(y)$ nie jest możliwe w funkcjach elementarnych.

Zobacz też

• lista krzywych

Linki zewnętrzne

• Applet Javy symulujący pogoń (niem.)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pursuit Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).