Krzywa pogoni

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Konstrukcja prostej krzywej pogoni

Krzywa pogonikrzywa matematyczna, określająca tor punktu („ścigający”), który zmierza zawsze w kierunku drugiego punktu („ścigany”), poruszającego się po pewnej wyznaczonej krzywej.

Prosta krzywa pogoni[edytuj]

Prosta krzywa pogoni określa najprostszy przypadek, w którym ścigany porusza się po prostej. Pierre Bouguer opisał ją po raz pierwszy w 1732 roku. Pierre Louis Maupertuis później rozważał także inne krzywe pogoni.

Definicja[edytuj]

Niech będzie punktem startowym „ściganego”, a punktem startowym „ścigającego”.

Niech punkt porusza się ruchem jednostajnym z prędkością w jakimś kierunku, a punkt z prędkością zawsze w kierunku punktu . Wówczas tor punktu to prosta krzywa pogoni.

Niech .

Krzywe pogoni dla różnych wartości parametru k

Równanie w kartezjańskim układzie współrzędnych[edytuj]

Niech i porusza się wzdłuż osi :

dla
dla

Wyprowadzenie[edytuj]

W dowolnym momencie „ścigany” znajduje się na stycznej do toru „ścigającego”, więc:

,

co prowadzi do równania różniczkowego:

,

gdzie .

Z wynika:

,

po zróżniczkowaniu po :

Dalej stosowany jest wzór na długość łuku:

.

Z wynika, że:

Podobnie wykonywane jest różniczkowanie po :

.

Rozwiązanie po podstawieniu

prowadzi do:

,

po scałkowaniu:

,

a następnie po zastosowaniu formalnej definicji sinh z otrzymuje się:

.

Ponownie całkuje się, ze stałą . Z warunku brzegowego:

wynika , więc z

wynika:

względnie dla ,

czyli:

skąd wynikają wzory podane na początku.

Wyrażenie zależności odwrotnej nie jest możliwe w funkcjach elementarnych.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]