Lemat Scheffégo

Lemat Scheffégo – twierdzenie teorii miary mówiące, że jeżeli ciąg $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ funkcji całkowalnych na pewnej przestrzeni z miarą $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ zbiega punktowo (w szczególności: zbiega prawie wszędzie) do funkcji całkowalnej $f$ określonej na tej samej przestrzeni, to

$\lim _{n\to \infty }\int \limits _{\Omega }|f_{n}-f|\,\mathrm {d} \mu =0$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim _{n\to \infty }\int \limits _{\Omega }|f_{n}|\,\mathrm {d} \mu =\int \limits _{\Omega }|f|\,\mathrm {d} \mu .$

Twierdzenie udowodnione w 1947 roku przez Henry’ego Scheffégo jest w istocie szczególnym przypadkiem twierdzenia Frigyesa Riesza z 1928 roku.

Rachunek prawdopodobieństwa

Niech $X$ będzie zmienną losową określoną na ustalonej przestrzeni probabilistycznej $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}}),$ która ma gęstość $f$ oraz dany będzie ciąg $(X_{n})_{n=1}^{\infty }$ zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni, któremu odpowiada ciąg gęstości $(f_{n})_{n=1}^{\infty }.$ Z lematu Scheffégo wynika, że jeśli $f_{n}\to f$ punktowo/prawie wszędzie, to $X_{n}\to X$ według rozkładu.

Otóż jeśli $\lim _{n\to \infty }f(x)=f(x)$ dla (prawie) wszystkich $x\in X,$ to

$\lim _{n\to \infty }\sup _{A\in {\mathcal {F}}}{\Big |}{\mathsf {P}}(X_{n}\in A)-{\mathsf {P}}(X\in A){\Big |}=0.$

Istotnie

${\begin{aligned}\sup _{A\in {\mathcal {F}}}{\Big |}{\mathsf {P}}(X_{n}\in A)-{\mathsf {P}}(X\in A){\Big |}&=\sup _{A\in {\mathcal {F}}}\left|\int \limits _{A}(f_{n}-f){\rm {d\lambda }}\right|\\&\leqslant \sup _{A\in {\mathcal {F}}}\int \limits _{A}|f_{n}-f|{\rm {d\lambda }}\\&=\int \limits _{\Omega }|f_{n}-f|{\rm {d\lambda \to 0,}}\end{aligned}}$

gdzie zbieżność wynika z lematu Scheffégo (zaś $\lambda$ oznacza miarę Lebesgue’a).

Twierdzenie odwrotne nie zachodzi: na ogół zbieżność według rozkładu ciągu zmiennych losowych nie pociąga zbieżności ciągu odpowiadających im gęstości. Przykładem może być ciąg zmiennych losowych o gęstościach

$f_{n}(x)=(1-\cos(2\pi nx)){\mathsf {1}}_{(0,1)}(x),$

który zbiega według rozkładu do zmiennej o rozkładzie jednorodnym $\mathrm {U} (0,1),$ podczas gdy ciąg ich gęstości jest rozbieżny.

Bibliografia

• N. Kusolitsch, Why the theorem of Scheffé should be rather called a theorem of Riesz, Periodica Mathematica Hungarica 61 (2010), s. 225–229.