Zbieżność według rozkładu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem słabą[a] zbieżnością.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech oznacza dystrybuantę wektora losowego Ciąg wektorów losowych jest zbieżny według rozkładu do wektora losowego , jeżeli ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty Wektor losowy nazywa się wówczas granicą ciągu wektorów losowych w sensie zbieżności według rozkładu.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Zdanie "ciąg jest zbieżny według rozkładu do ", używając symboliki matematycznej, zapisuje się krótko:
  • Granica w sensie zbieżności według rozkładu nie jest wyznaczona jednoznacznie (prawie na pewno). Wynika to z stąd, iż jeśli to dowolny wektor losowy o rozkładzie identycznym z rozkładem wektora jest granicą ciągu w sensie zbieżności według rozkładu.

Twierdzenie Craméra-Wolda[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Twierdzenie Craméra-Wolda.

Twierdzenie Craméra-Wolda sprowadza zbieżność według rozkładu wektorów losowych do zbieżności według rozkładu zmiennych losowych.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Na przestrzeni probabilistycznej , gdzie jest jednowymiarową miarą Lebesgue'a określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów przedziału , określamy ciąg zmiennych losowych, danych wzorami:

Dystrybuanta zmiennej losowej jest więc postaci:

Ciąg dystrybuant jest, przy zbieżny do dystrybuanty danej wzorem:

w każdym punkcie będącym punktem ciągłości dystrybuanty Ciąg jest wobec tego słabo zbieżny do dystrybuanty

Zgodnie z uwagą, granicą ciągu zmiennych w sensie zbieżności według rozkładu jest zarówno zmienna losowa dana wzorem:

jak również zmienna losowa dana wzorem:

Reasumując:

oraz

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. „Słabą”, ponieważ jeżeli ciąg wektorów losowych jest zbieżny według miary lub zbieżny prawie na pewno do pewnego wektora losowego, to jest zbieżny według rozkładu do tego wektora.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]