Zbieżność według rozkładu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbieżność według rozkładu – jeden z rodzajów zbieżności wektorów losowych, nazywany czasem słabą[a] zbieżnością.

Definicja[edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech oznacza dystrybuantę wektora losowego Ciąg wektorów losowych jest zbieżny według rozkładu do wektora losowego , jeżeli ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty Wektor losowy nazywa się wówczas granicą ciągu wektorów losowych w sensie zbieżności według rozkładu.

Uwagi[edytuj kod]

  • Zdanie "ciąg jest zbieżny według rozkładu do ", używając symboliki matematycznej, zapisuje się krótko:
  • Granica w sensie zbieżności według rozkładu nie jest wyznaczona jednoznacznie (prawie na pewno). Wynika to z stąd, iż jeśli to dowolny wektor losowy o rozkładzie identycznym z rozkładem wektora jest granicą ciągu w sensie zbieżności według rozkładu.

Twierdzenie Craméra-Wolda[edytuj kod]

 Osobny artykuł: Twierdzenie Craméra-Wolda.

Twierdzenie Craméra-Wolda sprowadza zbieżność według rozkładu wektorów losowych do zbieżności według rozkładu zmiennych losowych.

Przykład[edytuj kod]

Na przestrzeni probabilistycznej , gdzie jest jednowymiarową miarą Lebesgue'a określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów przedziału , określamy ciąg zmiennych losowych, danych wzorami:

Dystrybuanta zmiennej losowej jest więc postaci:

Ciąg dystrybuant jest, przy zbieżny do dystrybuanty danej wzorem:

w każdym punkcie będącym punktem ciągłości dystrybuanty Ciąg jest wobec tego słabo zbieżny do dystrybuanty

Zgodnie z uwagą, granicą ciągu zmiennych w sensie zbieżności według rozkładu jest zarówno zmienna losowa dana wzorem:

jak również zmienna losowa dana wzorem:

Reasumując:

oraz

Uwagi

  1. „Słabą”, ponieważ jeżeli ciąg wektorów losowych jest zbieżny według miary lub zbieżny prawie na pewno do pewnego wektora losowego, to jest zbieżny według rozkładu do tego wektora.

Bibliografia[edytuj kod]