Logarytmiczny dekrement tłumienia

Dwie kolejne amplitudy w drganiach tłumionych

Dekrement tłumienia – stosunek dwóch kolejnych amplitud w ruchu tłumionym

$\delta ={\frac {A_{n}}{A_{n+1}}}$

gdzie:

$A_{n}$ – amplituda $n$-tego drgania,

$A_{n+1}$ – amplituda następnego drgania.

Logarytmiczny dekrement tłumienia to logarytm naturalny powyższego stosunku (ilorazu):

$\Lambda =\ln \left({\frac {A_{n}}{A_{n+1}}}\right).$

Drgania harmoniczne

W przypadku harmonicznych drgań tłumionych wartość zarówno dekrementu, jak i logarytmicznego dekrementu jest stała w czasie, dlatego do wyznaczenia tych parametrów nie jest konieczna znajomość dwóch kolejnych amplitud. Wystarczy znać amplitudę $A_{n}$ $n$-tego drgania i amplitudę $A_{m}$ $m$-tego drgania, wówczas

$\Lambda ={\frac {1}{m-n}}\ln \left({\frac {A_{n}}{A_{m}}}\right).$

Tłumione drgania harmoniczne opisywane są równaniem kinematycznym

$x(t)=Ae^{-\beta t}\sin(\omega t+\varphi ),$

gdzie:

$\beta$ – współczynnik tłumienia drgań,

$\omega$ – częstość drgań tłumionych,

$\varphi$ – faza początkowa.

Wykorzystując to równanie, można wykazać, że logarytmiczny dekrement tłumienia wyraża się wzorem

$\Lambda =\beta T,$

gdzie $T$ jest okresem drgań tłumionych, lub wzorem

$\Lambda ={\frac {2\pi \beta }{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\beta ^{2}}}},$

gdzie $\omega _{0}$ jest częstością tych drgań przy braku tłumienia.

Bibliografia

• Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, s. 52.