Kinematyczne równanie ruchu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Kinematyczne równanie ruchu to pewna zależność (bądź układ zależności), określająca położenie ciała w przestrzeni w funkcji czasu.

Postać wektorowa kinematycznego równania ruchu to zależność określająca wektor położenia ciała jako funkcję czasu:

\vec{r}=\vec{r}(t)

W praktyce korzysta się jednak zwykle ze skalarnej postaci kinematycznego równania ruchu. Jest ona (w trójwymiarowej przestrzeni) określona następującym układem:

\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}

Obie postaci kinematycznego równania ruchu łączy następujący związek:

\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}

\vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k} są wektorami jednostkowymi skierowanymi zgodnie z osiami układu współrzędnych. Nazywa się je wersorami

Związek z dynamiką[edytuj | edytuj kod]

Kinematyczne równanie ruchu jest rozwiązaniem dynamicznego równania ruchu, które ma postać równania różniczkowego. W dowolnym przypadku, szczególnie złożonych sił działających na ciało, rozwiązania analityczne tych równań mogą nie istnieć. Dla takich ruchów równanie kinematyczne nie istnieje.

Tor ruchu[edytuj | edytuj kod]

W przypadku ruchów krzywoliniowych kinematyczne równania ruchu mają postać układu równań z parametrem (zobacz przykłady). Parametrem tym jest czas. Eliminując z tych równań czas można otrzymać jedno równanie współrzędnych przestrzennych, które jest równaniem toru ruchu tego ciała.

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Kinematyczne równanie ruchu ciała jest bardzo wygodną metodą opisu ruchu. Pozwala ono na proste obliczenie:

Przykłady prostych równań ruchu[edytuj | edytuj kod]

x(t)=x_0+v t \,
  • Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony (x_0 – położenie początkowe, v_0 ‒ prędkość początkowa, aprzyspieszenie)
x(t)=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}at^2\,
  • Rzut ukośny w górę przy osi OY skierowanej pionowo w górę ((x_0, y_0) – położenie początkowe, v_0 ‒ prędkość początkowa, \alpha – kąt wyrzucenia)
\begin{cases} x(t)=x_0+v_{0}t\cos{(\alpha)} \\ y(t)=y_0+v_{0}t\sin{(\alpha)}-\frac{1}{2}gt^2 \end{cases}
x(t)=A\sin{(\omega t+\varphi_0)}
  • Ruch po elipsie może być opisany np. równaniami (a, b – długości półosi elipsy)
\ x(t)=a\sin{(\omega t)}
\ y(t)=b\cos{(\omega t)}

Gdy a=b jest to ruch po okręgu a \omega jest prędkością kątową.