Nierówność wariacyjna – pojęcie z pogranicza rachunku wariacyjnego i teorii zbiorów wypukłych. Najogólniejsza postać tego zagadnienia podana poniżej pochodzi od Stuarta Antmana[1].
Dla danej przestrzeni Banacha oraz jej podzbioru i funkcjonału z do przestrzeni dualnej do przestrzeni nierównością wariacyjną jest problem rozwiązania względem zmiennej przebiegającej zbiór następującej nierówności:
gdzie jest dualnością wyrażającą się wzorem gdzie
Minimum funkcji na przedziale[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie funkcją gładką (tzn. różniczkowalną o ciągłej pochodnej), gdzie Jeśli chcemy znaleźć punkt w którym
Możliwe są wtedy trzy przypadki:
- i wtedy
- i wtedy
- i wtedy
Wszystkie one mogą być zapisane za pomocą nierówności wariacyjnej[2]:
Rozwiązanie tej nierówności prowadzi do znalezienia minimum funkcji na przedziale.
Minimum funkcji na zbiorze wypukłym[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie funkcją gładką określoną na domkniętym wypukłym podzbiorze Ponadto niech będzie takim punktem, że
Ponieważ zbiór jest wypukły, więc odcinek
leży w zbiorze i można rozpatrzeć funkcję
- gdzie
Osiąga ona minimum dla i dlatego z przykładu poprzedniego wynika, że
Zatem punkt spełnia nierówność[3]:
Jeśli zbiór jest ograniczony, to istnienie takiego punktu wynika ze zwartości zbioru
Rozwiązanie tej nierówności prowadzi zatem do znalezienia minimum funkcji na zbiorze domkniętym wypukłym.
Niech będzie obszarem o brzegu i niech gdzie będzie taką funkcją, że
- i
na
Niech
Zbiór jest wypukły i dla rozsądnie wybranych funkcji jest niepusty. Należy znaleźć taką funkcję dla której
Problem ten prowadzi do nierówności wariacyjnej
dla każdego