Nierówność wariacyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierówność wariacyjna – pojęcie z pogranicza rachunku wariacyjnego i teorii zbiorów wypukłych. Najogólniejsza postać tego zagadnienia podana poniżej pochodzi od Stuarta Antmana[1].

Definicja formalna[edytuj]

Dla danej przestrzeni Banacha , oraz jej podzbioru i funkcjonału z do przestrzeni dualnej do przestrzeni , nierównością wariacyjną jest problem rozwiązania względem zmiennej przebiegającej zbiór następującej nierówności:

gdzie jest dualnością wyrażającą się wzorem , gdzie .

Przykłady[edytuj]

Minimum funkcji na przedziale[edytuj]

Niech będzie funkcją gładką (tzn. różniczkowalną o ciągłej pochodnej), gdzie . Jeśli chcemy znaleźć punkt , w którym

.

Możliwe są wtedy trzy przypadki:

  • i wtedy ,
  • i wtedy ,
  • i wtedy .

Wszystkie one mogą być zapisane za pomocą nierówności wariacyjnej[2]:

.

Rozwiązanie tej nierówności prowadzi do znalezienia minimum funkcji na przedziale.

Minimum funkcji na zbiorze wypukłym[edytuj]

Niech będzie funkcją gładką określoną na domkniętym wypukłym podzbiorze . Ponadto niech będzie takim punktem, że

.

Ponieważ zbiór jest wypukły, więc odcinek

leży w zbiorze i można rozpatrzeć funkcję

, gdzie .

Osiąga ona minimum dla i dlatego z przykładu poprzedniego wynika, że

Zatem punkt spełnia nierówność[3]:

.

Jeśli zbiór jest ograniczony, to istnienie takiego punktu wynika ze zwartości zbioru .

Rozwiązanie tej nierówności prowadzi zatem do znalezienia minimum funkcji na zbiorze domkniętym wypukłym.

Badanie membrany[edytuj]

Niech będzie obszarem o brzegu i niech , gdzie , będzie taką funkcją, że

i

na .

Niech

Zbiór jest wypukły i dla rozsądnie wybranych funkcji jest niepusty. Należy znaleźć taką funkcję , dla której

.

Problem ten prowadzi do nierówności wariacyjnej

dla każdego .

Przypisy

  1. Stuart Antman. The influence of elasticity in analysis: modern developments. „Bulletin of the American Mathematical Society”. 9 (3), s. 267–291, 1983. American Mathematical Society. DOI: 10.1090/S0273-0979-1983-15185-6 (ang.). 
  2. D. Kinderlehrer, G. Stampacchia: An Introduction to Varnational Inequalities and their Applications (tłum. ros.). Москва: Мир, 1983, s. 9. (ros.)
  3. Kinderlehrer, Stampacchia, op. cit., s. 10