Operator Stokesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Operator Stokesaoperator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała (która może znajdować się w ruchu), w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia (który zwykle uznaje się za nieruchomy). Bardzo często używany w mechanice płynów.

Operator Stokesa zwykle oznaczany jest przez:

lub w sktócie .

W analizie wędrownej równoważny jest symbolowi:

różniczkowania cząstkowego względem czasu t.

Natomiast przy użyciu analizy lokalnej symbol równoważny jest operatorowi:

Zapis klasyczny

Zapis indeksowy

Zapis absolutny

gdzie: vprędkość elementu ciała, z którym jest stale związana różniczkowana własność.

Pierwszy składnik po prawej stronie równania nosi nazwę pochodnej lokalnej, drugi (pozostałe w przypadku zapisu klasycznego) pochodnej konwekcyjnej (związanej z ruchem).

Zapisując jawnie różniczkowaną własność jako φ (która w ogólności może być dowolnym polem tensorowym) można wyrazić operator Stokesa przez:

Wyprowadzenie w analizie lokalnej[edytuj]

W układzie współrzędnych Eulera punkt o współrzędnej w chwili t, znajdzie się w chwili t+Δ t w punkcie . Z definicji pochodnej:

.

Oznaczając:

,

można zauważyć, że:

.

Rozwijając różniczkowaną funkcję wokół punktu (t, x, y, z) otrzymuje się:

.

Stąd:

.

Wyprowadzenie alternatywne[edytuj]

Różniczka zupełna funkcji ma postać:

dzieląc przez możemy zapisać:

uwzględniając że prędkość otrzymujemy:

Co można zapisać używając operatorów:

W literaturze oznaczenia oraz używane są zamiennie.