Powierzchnia prostokreślna

Hiperboloida jednopowłokowa – przykład powierzchni prostokreślnej

Powierzchnia prostokreślna, powierzchnia rozwijająca – powierzchnia, która razem z każdym jej punktem zawiera przechodzącą przez niego prostą.

Powierzchnia jest prostokreślna (rozwijająca), jeżeli ma parametryzację postaci $x(u,v)=\beta (u)+v\delta (u),$ gdzie β i δ są krzywymi. Znaczy to, że cała powierzchnia jest zbudowana z prostych wychodzących z krzywej β(u) w kierunku δ(u). Krzywa β(u) jest nazywana kierownicą, natomiast prosta o kierunku δ(u) to tworząca.

Na powierzchniach rozwijalnych mogą istnieć punkty takie, że $x_{u}\times x_{v}=\beta ^{'}(u)\times \delta (u)+v\delta ^{'}(u)\times \delta (u)=0.$ Punkty takie podlegają istotnym ograniczeniom.

Powierzchnie prostokreślne, ze względu na łatwość wykonania, są często stosowane w architekturze.

Szczególnym przypadkiem są powierzchni prostokreślnych są te podwójnie prostokreślne – te, dla których można określić dwie różne parametryzacje: $x(u,v)=\beta (u)+v\delta (u)$ i $y(u,v)=\alpha (u)+v\varphi (u).$

Przykłady powierzchni prostokreślnych

• Niektóre kwadryki:
  • Powierzchnia stożkowa: $x(u,v)=p+v\delta (u),$ gdzie $p$ jest ustalonym punktem,
  • Powierzchnia walcowa: $x(u,v)=\beta (u)+vq,$ gdzie $q$ jest ustalonym wektorem kierunkowym,
  • Paraboloida hiperboliczna – przez każdy jej punkt przechodzą dwie różne proste leżące w całości na tej powierzchni,
  • Hiperboloida jednopowłokowa,
• Konoida,
• Helikoida.