Proces stochastyczny progresywnie mierzalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Progresywna mierzalność – własność procesu stochastycznego, która jest silniejsza od adaptowania procesu do danej filtracji.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech

  • będzie przestrzenią probabilistyczną;
  • będzie przestrzenią mierzalną;
  • będzie procesem stochastycznym (gdzie itp.);
  • będzie ustaloną filtracją (tj. niemalejącą rodziną pod-σ-algebr σ-algebry );
  • oznacza algebrę zbiorów borelowskich na .

Proces nazywany jest progresywnie mierzalnym względem filtracji , gdy dla każdego odwzorowanie

określone wzorem

jest mierzalne względem σ-algebry produktowej .[1]

W szczególności, proces jest adaptowany do filtracji .

Zbiory progresywnie mierzalne[edytuj | edytuj kod]

Podzbiór jest progresywnie mierzalny, gdy proces

jest progresywnie mierzalny (zob. funkcja charakterystyczna zbioru). Zbiór progresywnie mierzalnych podzbiorów tworzy σ-algebrę.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Niech będzie ruchem Browna. Przestrzeń tych procesów stochastycznych , dla których całka Itō
względem jest zdefiniowana, jest tożsama z rodziną (klas abstrakcji) procesów stochastycznych należących do przestrzeni Lebesgue’a .

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Pasucci 2011 ↓, s. 110.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Springer, Berlin (2011).