Proces Wienera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Pojedyncza trajektoria (jednowymiarowego) procesu Wienera

Proces Wienera (ruch Browna) – proces stochastyczny z czasem ciągłym nazwany dla uhonorowania osiągnięć Norberta Wienera. Jest też często nazywanym ruchem Browna, gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie, który po raz pierwszy zaobserwował botanik Robert Brown. Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem procesu gaussowskiego, a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu Lévy’ego. Proces Wienera nierzadko opisuje zjawiska występujące w ekonomii, finansach czy fizyce.

W matematyce, badania nad procesem Wienera zapoczątkowały rozwój teorii martyngałów z czasem ciągłym. Proces odgrywa kluczową rolę w badaniach bardziej skomplikowanych procesów, na przykład, procesów będących rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych jak procesy dyfuzji. W matematyce stosowanej, procesu Wienera używa się, m.in., do wyznaczenia całki stochastycznej z tzw. białego szumu oraz używa się go do modelowania innych szumów (zob. szum czerwony).

W fizyce, proces Wienera używa się do modelowania ruchów cząsteczek w zawiesistej cieczy oraz różnorakich procesów dyfuzyjnych (zob. równanie Fokkera-Plancka oraz równanie Langevina). Rozwiązanie równania Schrödingera wyraża się poprzez proces Wienera (zob. wzór Feynmana-Kaca). W finansach, procesu Wienera używa się do wyznaczenia modelu Blacka-Scholesa wyceny opcji europejskich.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Proces stochastyczny na przestrzeni probabilistycznej nazywa się (standardowym) procesem Wienera, gdy spełnia następujące warunki:

  1. prawie na pewno,
  2. proces ten ma przyrosty niezależne, tj. dla wszelkich zmienne losowe
są niezależne,
3. dla wszelkich
4. trajektorie procesu są ciągłe prawie na pewno, tzn. istnieje taki zbiór że oraz dla wszelkich funkcja jest ciągła.

Niektórzy autorzy zakładają, że oraz że wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe[1].

Charakteryzacje[edytuj | edytuj kod]

Proces Wienera jest procesem gaussowskim, tj. dla wszelkich wektor losowy

ma (wielowymiarowy) rozkład normalny. W klasie procesów gaussowskich istnieje następująca charakteryzacja procesu Wienera.

Twierdzenie. Proces gaussowski jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy

a. prawie wszystkie jego trajektorie są ciągłe,
b. dla wszelkich
c. dla wszelkich [2].

W szczególności, proces Wienera spełnia powyższe warunki a.-c. Rzeczywiście, jeżeli jest procesem Wienera, to.

z uwagi na to, że p.n. (warunek 1.) oraz zmienna ma rozkład normalny (warunek 3.). Z niezależności rozkładów, tj. warunku 2., wynika, że dla zachodzi

[2].

By udowodnić, że proces gaussowski spełniający warunki a.-c. jest procesem Wienera należy zauważyć, że tj. p.n., co dowodzi warunku 1. Następnie, dla zmienna losowa ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją

co dowodzi warunku 3. By wykazać warunek 2., z gaussowskości rozkładu wynika, że dla wszelkich zmienne

są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane (tj. kowariancja każdej ich pary wynosi 0). Mamy jednak dla

oraz

co kończy dowód[2].

Proces Wienera można scharakteryzować poprzez stacjonarność przyrostów i skończoność czwartych momentów:

Twierdzenie. Proces stochastyczny jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki 1., 2. i 4. oraz

3a. przyrosty procesu są stacjonarne, tj. dla wszelkich zmienne oraz mają te same rozkłady,
3b.
3c. dla wszelkich [2].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności:

  • Cechy trajektorii – pomimo że zgodnie z założeniem definicji (prawie wszystkie) trajektorie procesu Wienera są ciągłe, to nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma wahanie nieskończone[3], co implikuje, że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu)[4].
  • Proces Wienera ma mocną własność Markowa.
  • Prawo odbicia procesu Wienera – po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo to można opisać za pomocą wzoru
  • Prawo iterowanego logarytmu opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możliwe jest też badanie trajektorii w otoczeniu 0).

Operacje zachowujące własności procesu Wienera[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie procesem Wienera. Wówczas każdy ze zdefiniowanych niżej procesów jest również procesem Wienera

  • (odbity proces Wienera),
  • (proces Wienera o czasie przeskalowanym przez pewne ),
  • dla oraz dla (inwersja czasu w procesie Wienera),
  • dla oraz dla (dla dowolnego )[3]; zob. prawo odbicia procesu Wienera.

Konstrukcja procesu Wienera[edytuj | edytuj kod]

Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej szkic dowodu najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu ruchu Browna. Niech dana będzie cząstka poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszając odpowiednio jednostkę odległości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Innymi słowy proces Wienera jest „procesem granicznym” dla błądzenia losowego, przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje twierdzenie Donskera.

Miara procesu Wienera[edytuj | edytuj kod]

Proces Wienera jak każdy proces stochastyczny, wyznacza miarę na przestrzeni z σ-ciałem zbiorów cylindrycznych poprzez warunek

W przypadku, gdy wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe (co zawsze można osiągnąć dokonując modyfikacji procesu) miarę można wyznaczyć ze wzoru

gdzie jest dowolnym borelowskim podzbiorem przestrzeni funkcji ciągłych na z topologią zbieżności niemal jednostajnej (tj. zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych). Stąd o procesie Wienera można myśleć jako o pewnym rozkładzie probabilistycznym na przestrzeni [5].

Proces wielowymiarowy[edytuj | edytuj kod]

Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces -wymiarowy definiuje się jako proces

gdzie to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. W przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest gęsta na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem nigdziegęstym.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Latała 2011 ↓, s. 5.
  2. a b c d Latała 2011 ↓, s. 6.
  3. a b Latała 2011 ↓, s. 9.
  4. Latała 2011 ↓, s. 8.
  5. Latała 2011 ↓, s. 10.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]