Proces Wienera

Pojedyncza trajektoria (jednowymiarowego) procesu Wienera

Proces Wienera (ruch Browna) – proces stochastyczny z czasem ciągłym nazwany dla uhonorowania osiągnięć Norberta Wienera. Jest też często nazywanym ruchem Browna, gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie, który po raz pierwszy zaobserwował botanik Robert Brown. Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem procesu gaussowskiego, a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu Lévy’ego. Proces Wienera nierzadko opisuje zjawiska występujące w ekonomii, finansach czy fizyce.

W matematyce, badania nad procesem Wienera zapoczątkowały rozwój teorii martyngałów z czasem ciągłym. Proces odgrywa kluczową rolę w badaniach bardziej skomplikowanych procesów, np. procesów będących rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych jak procesy dyfuzji. W matematyce stosowanej procesu Wienera używa się m.in. do wyznaczenia całki stochastycznej z tzw. białego szumu oraz do modelowania innych szumów (zob. szum czerwony).

W fizyce proces Wienera służy do modelowania ruchów cząsteczek w zawiesistej cieczy oraz różnych procesów dyfuzyjnych (zob. równanie Fokkera-Plancka oraz równanie Langevina). Rozwiązanie równania Schrödingera wyraża się poprzez proces Wienera (zob. wzór Feynmana-Kaca). W finansach, procesu Wienera używa się do wyznaczenia modelu Blacka-Scholesa wyceny opcji europejskich.

Definicja

Proces stochastyczny $(W_{t})_{t\geqslant 0}$ na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}})$ nazywa się (standardowym) procesem Wienera, gdy spełnia następujące warunki:

1. $W_{0}=0$ prawie na pewno,
2. proces ten ma przyrosty niezależne, tj. dla wszelkich $0\leqslant t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{k}$ zmienne losowe

$W_{t_{1}},W_{t_{2}}-W_{t_{1}},W_{t_{3}}-W_{t_{2}},\dots ,W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}}$

są niezależne,

3. $W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)$ dla wszelkich $0\leqslant s\leqslant t,$ tj. różnica procesów Wieniera dla dwóch dowolnych chwil jest procesem gaussowskim (normalnym) o średniej równej zeru i wariancji równej odległości czasowej rozważanych procesów

4. trajektorie procesu są ciągłe prawie na pewno, tzn. istnieje taki zbiór $A\in {\mathcal {F}},$ że ${\mathsf {P}}(A)=1$ oraz dla wszelkich $\omega \in A$ funkcja $t\mapsto W_{t}(\omega )$ jest ciągła.

Niektórzy autorzy zakładają, że $W_{0}=0$ oraz że wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe.

Twierdzenia

Twierdzenie 1: Proces Wienera jest procesem gaussowskim, tj. dla wszelkich $0\leqslant t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{k}$ wektor losowy

$(W_{t_{1}},W_{t_{2}},\dots ,W_{t_{k}})$

ma (wielowymiarowy) rozkład normalny.

Nie wszystkie procesy gaussowskie są procesami Wienera. Warunki konieczne do tego określa poniższe twierdzenie. Twierdzenie 2: Proces gaussowski $(X_{t})_{t\geqslant 0}$ jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy

a. prawie wszystkie jego trajektorie są ciągłe,

b. ${\mathsf {E}}X_{t}=0$ dla wszelkich $t\geqslant 0$

c. ${\mathsf {Cov}}(X_{s},X_{t})=\min\{s,t\}$ dla wszelkich $s,t\geqslant 0$.

Dowód:

By udowodnić, że proces gaussowski spełniający warunki a.-c. jest procesem Wienera należy zauważyć, że ${\mathsf {Var}}X_{0}=0={\mathsf {E}}X_{0},$ tj. $X_{0}=0$ p.n., co dowodzi warunku 1. Następnie, dla $t>s,$ zmienna losowa $X_{t}-X_{s}$ ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją

${\mathsf {Var}}(X_{t}-X_{s})={\mathsf {Var}}(X_{t})+{\mathsf {Var}}(X_{s})-2\cdot {\mathsf {Cov}}(X_{t},X_{s})=t-s,$

co dowodzi warunku 3. By wykazać warunek 2., z gaussowskości rozkładu wynika, że dla wszelkich $0\leqslant t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{k}$ zmienne

$X_{t_{1}},X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}$

są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane (tj. kowariancja każdej ich pary wynosi 0). Mamy jednak dla $0\leqslant s_{1}\leqslant s_{2}\leqslant s_{3}\leqslant s_{4}$

${\mathsf {Cov}}(X_{s_{1}},X_{s_{3}}-X_{s_{2}})={\mathsf {Cov}}(X_{s_{1}},X_{s_{3}})-{\mathsf {Cov}}(X_{s_{1}},X_{s_{2}})=\min\{s_{1},s_{3}\}-\min\{s_{1},s_{2}\}=s_{1}-s_{1}=0,$

oraz

${\mathsf {Cov}}(X_{s_{2}}-X_{s_{1}},X_{s_{4}}-X_{s_{3}})={\mathsf {Cov}}(X_{s_{2}},X_{s_{4}}-X_{s_{3}})-{\mathsf {Cov}}(X_{s_{1}},X_{s_{4}}-X_{s_{3}})=0,$

co kończy dowód.

Twierdzenie 3: Proces Wienera spełnia powyższe warunki a.-c.

Dowód:

Rzeczywiście, jeżeli $(W_{t})_{t\geqslant 0}$ jest procesem Wienera, to.

${\mathsf {E}}W_{t}={\mathsf {E}}(W_{t}-W_{0})=0,$

z uwagi na to, że $W_{0}=0$ p.n. (warunek 1.) oraz zmienna $W_{t}-W_{0}$ ma rozkład normalny ${\mathcal {N}}(0,t)$ (warunek 3.). Z niezależności rozkładów, tj. warunku 2., wynika, że dla $0\leqslant s<t$ zachodzi

${\mathsf {Cov}}(W_{s},W_{t})={\mathsf {Cov}}(W_{t}-W_{s},W_{t})+{\mathsf {Var}}X_{s}=0+s$.

Proces Wienera można scharakteryzować poprzez stacjonarność przyrostów i skończoność czwartych momentów, o czym mówi poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 4: Proces stochastyczny $(X_{t})_{t\geqslant 0}$ jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki 1., 2. i 4. podane w definicji procesu Wienera oraz

3a. przyrosty procesu $(X_{t})_{t\geqslant 0}$ są stacjonarne, tj. dla wszelkich $0\leqslant s<t$ zmienne $X_{t}-X_{s}$ oraz $X_{t-s}-X_{0}$ mają te same rozkłady,

3b. ${\mathsf {E}}X_{0}=0,{\mathsf {Var}}\,X_{0}=1,$

3c. ${\mathsf {E}}X_{t}^{4}<\infty$ dla wszelkich $t>0$.

Własności

Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności:

• Cechy trajektorii – pomimo że zgodnie z założeniem definicji (prawie wszystkie) trajektorie procesu Wienera są ciągłe, to nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma wahanie nieskończone, co implikuje, że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu).
• Proces Wienera ma mocną własność Markowa.
• Prawo odbicia procesu Wienera – po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo to można opisać za pomocą wzoru

  ${\mathsf {P}}\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}>a\right)=2{\mathsf {P}}(W_{t}>a)$

• Prawo iterowanego logarytmu opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możliwe jest też badanie trajektorii w otoczeniu 0).

  ${\mathsf {P}}\left(\limsup _{t\to +\infty }{\frac {W_{t}}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1\right)=1$

Operacje zachowujące własności procesu Wienera

Niech $(W_{t})_{t\geqslant 0}$ będzie procesem Wienera. Wówczas każdy ze zdefiniowanych niżej procesów jest również procesem Wienera

• $-W_{t}$ (odbity proces Wienera),
• ${\tfrac {1}{\sqrt {c}}}W_{ct}$ (proces Wienera o czasie przeskalowanym przez pewne $c>0$),
• $0$ dla $t=0$ oraz $tW_{1/t}$ dla $t>0$ (inwersja czasu w procesie Wienera),
• $W_{t}$ dla $t\leqslant T$ oraz $2W_{T}-W_{t}$ dla $t>T$ (dla dowolnego $T>0$); zob. prawo odbicia procesu Wienera.

Konstrukcja procesu Wienera

Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej szkic dowodu najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu ruchu Browna. Niech dana będzie cząstka poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszając odpowiednio jednostkę odległości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Innymi słowy proces Wienera jest „procesem granicznym” dla błądzenia losowego, przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje twierdzenie Donskera.

Miara procesu Wienera

Proces Wienera $(W_{t})_{t\geqslant 0},$ jak każdy proces stochastyczny, wyznacza miarę $\mu$ na przestrzeni $\mathbb {R} ^{[0,\infty )}$ z σ-ciałem zbiorów cylindrycznych $\mathrm {cyl} \,\mathbb {R} ^{[0,\infty )}$ poprzez warunek

$\mu (C)={\mathsf {P}}((W_{t})_{t\geqslant 0}\in C)\quad (C\in \mathrm {cyl} \,\mathbb {R} ^{[0,\infty )}).$

W przypadku, gdy wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe (co zawsze można osiągnąć dokonując modyfikacji procesu) miarę $\mu$ można wyznaczyć ze wzoru

$\mu (C)={\mathsf {P}}((W_{t})_{t\geqslant 0}\in C)$

gdzie $C$ jest dowolnym borelowskim podzbiorem przestrzeni $C[0,\infty )$ funkcji ciągłych na $[0,\infty )$ z topologią zbieżności niemal jednostajnej (tj. zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych). Stąd o procesie Wienera można myśleć jako o pewnym rozkładzie probabilistycznym na przestrzeni $C[0,\infty )$.

Proces wielowymiarowy

Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces $n$-wymiarowy definiuje się jako proces

$W=(W_{1},W_{2},\dots ,W_{n}),$

gdzie $W_{i}$ to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. W przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest gęsta na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem nigdziegęstym.

Zobacz też

• Błądzenie losowe

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.brak strony w książce
• Rafał Latała: Wstęp do Analizy Stochastycznej. Uniwersytet Warszawski, 2011..