Proces Wienera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Pojedyncza trajektoria (jednowymiarowego) procesu Wienera

Proces Wienera (ruch Browna) – proces stochastyczny z czasem ciągłym nazwany dla uhonorowania osiągnięć Norberta Wienera. Jest też często nazywanym ruchem Browna, gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie, który po raz pierwszy zaobserwował botanik Robert Brown. Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem procesu gaussowskiego, a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu Lévy’ego. Proces Wienera nierzadko opisuje zjawiska występuące w ekonomii, finansach czy fizyce.

W matematyce, badania nad procesem Wienera zapoczątkowały rozwój teorii martyngałów z czasem ciągłym. Proces odgrywa kluczową rolę w badaniach bardziej skomplikowanych procesów, na przykład, procesów będących rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych jak procesy dyfuzji. W matematyce stosowanej, procesu Wienera używa się, m.in., do wyznaczenia całki stochastycznej z tzw. białego szumu oraz używa się go do modelowania innych szumów (zob. szum czerwony).

W fizyce, proces Wienera używa się do modelowania ruchów cząsteczek w zawiesistej cieczy oraz różnorakich procesów dyfuzycjnych (zob. równanie Fokkera-Plancka oraz równanie Langevina). Rozwiążanie równania Schrödingera wyraża się poprzez proces Wienera (zob. wzór Feynmana-Kaca). W finansach, procesu Wienera używa się do wyznaczenia modelu Blacka-Scholesa wyceny opcji europejskich.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Proces stochastyczny na przestrzeni probabilistycznej nazywa się (standardowym) procesem Wienera, gdy spełnia następujące warunki:

  1. prawie na pewno,
  2. proces ten ma przyrosty niezależne, tj. dla wszelkich zmienne losowe
są niezależne,
3. dla wszelkich ,
4. trajektorie procesu są ciągłe prawie na pewno, tzn. istnieje taki zbiór , że oraz dla wszelkich funkcja jest ciągła.

Niektórzy autorzy zakładają, że oraz, że wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe[1].

Charakteryzacje[edytuj | edytuj kod]

Proces Wienera jest procesem gaussowskim, tj. dla wszelkich wektor losowy

ma (wielowymiarowy) rozkład normalny. W klasie procesów gaussowskich istnieje następująca charakteryzacja procesu Wienera.

Twierdzenie. Proces gaussowski jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy

a. prawie wszystkie jego trajektorie są ciągłe,
b. dla wszelkich
c. dla wszelkich [2].

W szczególności, proces Wienera spełnia powyższe warunki a.-c. Rzeczywiście, jeżeli jest procesem Wienera, to.

,

z uwagi na to, że p.n. (warunek 1.) oraz zmienna ma rozkład normalny (warunek 3.). Z niezależności rozkładów, tj. warunku 2., wynika, że dla zachodzi

[2].

By udowodnić, że proces gaussowski spełniający warunki a.-c. jest procesem Wienera należy zauważyć, że , tj. p.n., co dowodzi warunku 1. Następnie, dla , zmienna losowa ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją

,

co dowodzi warunku 3. By wykazać warunek 2., z gaussowskości rozkładu wynika, że dla wszelkich zmienne

są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane (tj. kowariancja każdej ich pary wynosi 0). Mamy jednak dla

,

oraz

co kończy dowód[2].

Proces Wienera można scharakteryzować poprzez stacjonarność przyrostów i skończoność czwartych momentów:

Twierdzenie. Proces stochastyczny jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki 1., 2. i 4. oraz

3a. przyrosty procesu są stacjonarne, tj. dla wszelkich zmienne oraz mają te same rozkłady,
3b. ,
3c. dla wszelkich [2].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności:

  • Cechy trajektorii - pomimo że zgodnie z założeniem definicji (prawie wszystkie) trajektorie procesu Wienera są ciągłe, to nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma wahanie nieskończone[3], co implikuje, że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu)[4].
  • Proces Wienera ma mocną własność Markowa.
  • Prawo odbicia procesu Wienera - po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo to można opisać za pomocą wzoru
  • Prawo iterowanego logarytmu opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możliwe jest też badanie trajektorie w otoczeniu 0).

Operacje zachowujące własności procesu Wienera[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie procesem Wienera. Wówczas każdy ze zdefiniowanych niżej procesów jest również procesem Wienera

  • (odbity proces Wienera),
  • (proces Wienera o czasie przeskalowanym przez pewne ),
  • dla oraz dla (inwersja czasu w procesie Wienera),
  • dla oraz dla (dla dowolnego )[3]; zob. prawo odbicia procesu Wienera.

Konstrukcja procesu Wienera[edytuj | edytuj kod]

Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej szkic dowodu najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu ruchu Browna. Niech dana będzie cząstka poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszając odpowiednio jednostkę odległości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Innymi słowy proces Wienera jest „procesem granicznym” dla błądzenia losowego, przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje twierdzenie Donskera.

Miara procesu Wienera[edytuj | edytuj kod]

Proces Wienera , jak każdy proces stochastyczny, wyznacza miarę na przestrzeni z σ-ciałem zbiorów cylindrycznych poprzez warunek

W przypadku, gdy wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe (co zawsze można osiągnąć dokonując modyfikacji procesu) miarę można wyznaczyć ze wzoru

gdzie jest dowolnym borelowskim podzbiorem przestrzeni funkcji ciągłych na z topologią zbieżności niemal jednostajnej (tj. zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych). Stąd o procesie Wienera można myśleć jako o pewnym rozkładzie probabilistycznym na przestrzeni [5].

Proces wielowymiarowy[edytuj | edytuj kod]

Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces n-wymiarowy definiuje się jako proces

,

gdzie to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. W przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest gęsta na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem nigdziegęstym.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Latała 2011 ↓, s. 5.
  2. a b c d Latała 2011 ↓, s. 6.
  3. a b Latała 2011 ↓, s. 9.
  4. Latała 2011 ↓, s. 8.
  5. Latała 2011 ↓, s. 10.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]