Przeniesienie równoległe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przeniesienie równoległe (transport równoległy) – sposób przeniesienia wielkości geometrycznych wzdłuż krzywej regularnej na rozmaitości. Np. przeniesienie równoległe wektora wzdłuż krzywej na powierzchni sfery czy torusa.

Warunkiem przeniesienia równoległego jest występowanie na rozmaitości połączenia afinicznego (pochodnej kowariantnej lub połączenia (koneksji) na wiązce stycznej).

Przeniesienie równoległe wektora[edytuj]

Przeniesienie równoległe wektora po sferze wzdłuż trójkąta geodezyjnego. Długość i kąt jaki wektor tworzy z każdym z odcinków pozostają stałe podczas przenoszenia. kąt skręcenia wektora jest proporcjonalny do pola trójkąta.

Wprowadzenie pojęcia przeniesienia równoległego wektorów stycznych do krzywej na powierzchni stanowiło kolejny ważny etap w rozwoju geometrii różniczkowej, który wniósł Levi-Civita. Pojęcie to jest związane z pojęciem pochodnej kowariantnej.

Jednak przeniesienie równoległe wzdłuż linii geodezyjnej można również opisać bezpośrednio, w analogii do transportu na płaszczyźnie euklidesowej, gdyż geodezyjna jest "prostą" na danej powierzchni (tj. najkrótszą linią, łączącą dane dwa punkty).

Na płaszczyźnie euklidesowej:

  • Przeniesienie równoległe wektora wzdłuż linii prostej (lub łamanej, złożonej z odcinków prostej) polega na przenoszeniu go z zachowaniem jego długości oraz kąta nachylenia wektora do prostej (lub kątów nachylenia do kolejno pokonywanych odcinków łamanej).
  • Jeżeli przenoszenie odbywa się wzdłuż innej krzywej niż prosta (lub łamana), np. wzdłuż okręgu na płaszczyźnie, to trzeba krzywą przybliżyć łamaną o bardzo małych odcinkach prostoliniowych - i postępować jak omówiono wyżej.

Na dowolnej powierzchni dwuwymiarowej:

  • Jeżeli przenoszenie wektora odbywa się wzdłuż krzywej geodezyjnej stycznej do danej powierzchni (lub wzdłuż łamanej, złożonej z fragmentów krzywych geodezyjnych), to zasady przenoszenia są identyczne jak w przestrzeni euklidesowej - geodezyjne są "prostymi" na powierzchniach analogicznymi do prostych w płaszczyźnie euklidesowej; zatem wektor jest przenoszony równoległe z zachowaniem stałej długości i stałego kąta nachylenia do wektora stycznego do geodezyjnej (lub do kolejnych odcinków łamanej geodezyjnej).
  • Dla dowolnej krzywej, która nie jest geodezyjną, proces transportu musi być zmodyfikowany poprzez przybliżenie krzywej łamaną geodezyjną.

Dokładniej proces transportu można opisać odwołując się do krzywizny geodezyjnej, która mierzy, jak bardzo krzywa odchyla się od geodezyjnej. Mianowicie, pole wektorowe v(t) krzywej c(t) o jednostkowej prędkości, z krzywizną geodezyjną kg(t), jest równoległe wzdłuż krzywej jeżeli

  • pole to ma stałą długość
  • kąt θ(t) jaki pole tworzy z wektorem prędkości ċ(t) spełnia warunek

Definicja formalna przeniesienia[edytuj]

Niech będzie pochodną kowariantną na rozmaitości , zaś krzywą gładką. Pole wektorowe wzdłuż nazywamy równoległym, gdy:

Z teorii układów równań różniczkowych zwyczajnych wynika, że dla każdego wektora istnieje dokładnie jedno pole wzdłuż , równoległe i takie, że . Oczywistym jest, że pole zerowe jest równoległe i liniowa kombinacja (o stałych współczynnikach) pól równoległych jest polem równoległym.

Bibliografia[edytuj]