Pole wektorowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni
Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni

Pole wektorowefunkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Definicja pola wektorowego[edytuj]

Niech będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta [1]. Elementy produktu nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól -mierzalnych nazywamy rodzinę spełniającą warunki:

  1. funkcja jest -mierzalna dla .
  2. [2] dla każdego .

Pole wektorowe

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje -mierzalne.

Pola -mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu [3]

Przykłady pól wektorowych[edytuj]

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

Teoretycznym badaniem pól fizycznych zajmuje się dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

Operacje różniczkowe na polach wektorowych[edytuj]

Dywergencja pola[edytuj]

Dywergencją pola wektorowego określonego w punktach przestrzeni nazywa się pole skalarne równe sumie odpowiednich pochodnych cząstkowych, obliczonych na składowych wektora

Pole skalarne będące dywergencją pola wektorowego jest różne od zera w punktach, gdzie są źródłami pola wektorowego (np. pole elektrostatyczne ma dywergencję różną od zera w punktach, gdzie znajdują się ładunki elektryczne). Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Dywergencja.

Rotacja pola[edytuj]

Rotacją pola wektorowego nazywa się pole wektorowe takie że

Rotacja przypisuje polu wektorowemu inne pole wektorowe. Jeśli rotacja jest różne od zera w punkcie , to oznacza że wokół tego punktu pole wektorowe wiruje.

Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Rotacja.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Dokładniej rodzinę przestrzeni Hilberta .
  2. Zob. podprzestrzeń liniowa.
  3. Produkt przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową.

Bibliografia[edytuj]

  1. Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.