Pole wektorowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni \mathbb{R}^2
Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni \mathbb{R}^3

Pole wektorowefunkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Definicja pola wektorowego[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, \mu) będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta (H_x)_{x\in X}[1]. Elementy produktu \prod_{x\in X}H_x nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól \mu-mierzalnych nazywamy rodzinę \Gamma=(h^\alpha)_{\alpha \in \Alpha} spełniającą warunki:

  1. funkcja X\ni x\mapsto (h^\alpha(x)|h^\beta(x))_x\in\mathbb{C} jest \mu-mierzalna dla \alpha, \beta\in \Alpha.
  2. \mbox{lin}\{(h^\alpha(x))_{\alpha\in\Alpha}\}=H_x[2] dla każdego x\in X.

Pole wektorowe

h\in \prod_{x\in X}H_x

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje x\mapsto (h^\alpha(x)|h^\beta(x))_x\mu-mierzalne.

Pola \mu-mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu \prod_{x\in X}H_x[3]

Przykłady pól wektorowych[edytuj | edytuj kod]

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

Teoretycznym badaniem pól fizycznych zajmuje się dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

Operacje różniczkowe na polach wektorowych[edytuj | edytuj kod]

Dywergencja pola[edytuj | edytuj kod]

Dywergencją pola wektorowego \mathbf{A}(\vec r)=[A_x(\vec r),A_y(\vec r),A_z(\vec r)] określonego w punktach \vec r=(x,y,z) przestrzeni \mathbb{R}^3 nazywa się pole skalarne \phi(\vec r) równe sumie odpowiednich pochodnych cząstkowych, obliczonych na składowych A_x,A_y,A_z wektora \mathbf{A}

\phi(\vec r)=\mbox{div}\,\mathbf{A}(\vec r)=\frac{\partial A_x(\vec r)}{\partial x}+\frac{\partial A_y(\vec r)}{\partial y}+\frac{\partial A_z(\vec r)}{\partial z}

Pole skalarne będące dywergencją pola wektorowego jest różne od zera w punktach, gdzie są źródłami pola wektorowego (np. pole elektrostatyczne ma dywergencję różną od zera w punktach, gdzie znajdują się ładunki elektryczne). Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Dywergencja.

Rotacja pola[edytuj | edytuj kod]

Rotacją pola wektorowego \mathbf{A}(x,y,z) nazywa się pole wektorowe takie że

\mathbf{B}(x,y,z)=\mbox{rot} \mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}  - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}

Rotacja przypisuje polu wektorowemu inne pole wektorowe. Jeśli rotacja \mbox{rot} \mathbf{A}(x,y,z) jest różne od zera w punkcie (x,y,z), to oznacza że wokół tego punktu pole wektorowe \mathbf{A}(x,y,z) wiruje.

Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Rotacja.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Dokładniej rodzinę przestrzeni Hilberta (H_x, (\cdot | \cdot )_x), \; x\in X.
  2. Zob. podprzestrzeń liniowa.
  3. Produkt przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.