Linia geodezyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Linia geodezyjna (krótko nazywana geodezyjną) – krzywa w przestrzeni metrycznej (ściślej: w G-przestrzeni), stanowiąca najkrótszą drogę pomiędzy dwoma punktami dostatecznie bliskimi[1]. Równoważnie geodezyjne definiuje się jako krzywe o zerowej krzywiznie geodezyjnej. Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi.

Geodezyjne na rozmaitościach riemannowskich[edytuj]

Krzywizna[edytuj]

Należy odróżnić trzy różne pojęcia krzywizny tutaj używane:

  1. Krzywizna (zewnętrzna) rozmaitości – jest to krzywizna rozmaitości obliczona z punktu widzenia przestrzeni, w której rozmaitość jest zanurzona. Np. krzywizna sfery zanurzonej w przestrzeni euklidesowej.
  2. Krzywizna geodezyjna krzywej leżącej w rozmaitości, rozpatrywana z punktu widzenia geometrii wewnętrznej, tj. obowiązującej na tej rozmaitości (zwykle jest to geometria nieeuklidesowa). Np. koła wielkie sfery (jak równik czy południki) mają zerową krzywiznę geodezyjną.
  3. Krzywizna (zewnętrzna) krzywej leżącej w rozmaitości, ale rozpatrywana z punktu widzenia przestrzeni w której rozmaitość jest zanurzona. Np. koła wielkie sfery mają niezerową krzywiznę w przestrzeni euklidesowej, w której sfera jest zanurzona.

Własności linii geodezyjnych[edytuj]

W ogólnym przypadku rozmaitości riemannowskich własności geometryczne mogące zmieniać się nawet przy niewielkim przemieszczeniu z jednego punktu do innego. Linia geodezyjna jest zdefiniowana jako krzywa dla której krzywizna geodezyjna w każdym jej punkcie jest równa zeru.

Dowodzi się, że ze wszystkich krzywych leżących na rozmaitości topologicznej i mających wspólną styczną w danym punkcie rozmaitości, krzywa geodezyjna ma najmniejszą krzywiznę (w sensie 3).

W przypadku rozmaitości o niezerowej krzywiźnie (w sensie 1), geodezyjne są z punktu widzenia geometrii euklidesowej krzywymi niebędącymi prostymi (mają niezerową krzywiznę w sensie 3), np. na sferze są to okręgi kół wielkich. Na powierzchni bocznej walca geodezyjnymi są linie śrubowe oraz (szczególne przypadki) proste i okręgi.

Z punktu widzenia obowiązującej w danej rozmaitości geometrii absolutnej (na ogół geometrii nieeuklidesowej) krzywe geodezyjne są odpowiednikami prostych, zwykle spełniającymi te same aksjomaty, co proste w geometrii euklidesowej z wyjątkiem postulatu równoległości Euklidesa.

Czasoprzestrzeń[edytuj]

Czasoprzestrzeń opisywana przez OTW jest rozmaitością pseudoriemannowską.

Punkt czasoprzestrzeni ma 4 współrzędne: czasową (gdzie - prędkość światła, - czas) oraz współrzędne przestrzenne , czyli . W skrócie współrzędne punktu oznaczamy symbolem , gdzie domyślnie lub .

W zapisie równań OTW można wybrać dowolny układ współrzędnych, dlatego symbole mają różne znaczenie w zależności od tego wyboru. Np.

  • w układzie kartezjańskim ,
  • w układzie sferycznym .

Dowolną linię można zapisać w postaci układu równań parametrycznych , gdzie jest parametrem. Rolę parametru może pełnić np. czas . Np. równania:

opisują ruch wzdłuż prostej w czasoprzestrzeni z prędkością .

Geodezyjne w czasoprzestrzeni[edytuj]

Linie geodezyjne łączące dwa punkty oraz w czasoprzestrzeni spełniają równanie różniczkowe:

,

gdzie - symbole Christoffela:

.

Równanie geodezyjnej można wyprowadzić kilkoma sposobami, np. z warunku, by krzywa nadawała wartość ekstremalną funkcjonałowi

,

tzn. żąda się, by spośród wszystkich krzywych, łączących dane punkty czasoprzestrzeni długość krzywej była ekstremalna (co dla punktów odpowiednio blisko leżących oznacza minimum).

Czasoprzestrzeń płaska[edytuj]

Czasoprzestrzeń płaska - to przestrzeń Minkowskiego mająca diagonalny tensor metryczny

.

Ogólne równanie linii geodezyjnej redukuje się tu do postaci

,

co oznacza, że przyspieszenie ciała jest zerowe. Wynika stąd ruch ciała po prostej ze stałą prędkością.

Sfera - obliczenia tensora metrycznego[edytuj]

Na –wymiarowej sferze o równaniu (gdzie oznaczają współrzędne kartezjańskie), wygodnie jest wprowadzić współrzędne sferyczne , , tak że zachodzą związki:

Element długości wyraża się przez różniczki:

Obliczając różniczki otrzymamy ( przy tym przy obliczeniach zakładamy, że współrzędna jest wielkością stałą, równą promieniowi sfery ):

Dokonując podstawienia tych różniczek do wzoru na otrzyma się:

Porównując powyższy wynik z postacią różniczki odległości we współrzędnych krzywoliniowych

gdzie - współczynniki tensora metrycznego otrzyma się , , , , czyli tensor metryczny zapisany w postaci tablicy ma postać:

.

Aby dostać równanie różniczkowe geodezyjnej należy obliczyć wszystkie symbole Christoffela i wstawić je do ogólnego równania. Równanie linii geodezyjnej daje fragmenty okręgów kół wielkich.

Czasoprzestrzeń wokół masywnego ciała[edytuj]

W czasoprzestrzeni zakrzywionej przez ciało sferycznie symetryczne tensor metryczny - zapisany w układzie współrzędnych sferycznych - ma postać

Elementy tensora nie zależą od współrzędnej .

Z metryki tej oblicza się symbole Christoffela. Np. otrzymamy

Element tensora w rozpatrywanym polu wokół ciała wyraża się przez potencjał grawitacyjny :

,

przy czym w rozwiązaniu podanym przez Karla Schwarzschilda dla zagadnienia pola grawitacyjnego w pobliżu czarne dziury mamy

,

gdzie - uniwersalna stała grawitacyjna, - masa czarnej dziury.

Interwał czasoprzestrzenny definiuje czas własny

W przybliżeniu nierelatywistycznym, gdy prędkości ciała są niewielkie, wtedy i równanie linii geodezyjnej daje równanie Newtona, gdy pomnożymy równanie linii geodezyjnej przez (dowolną) masę ciała. Otrzymujemy równanie Newtona cząstki w polu grawitacyjnym

.

W opisie ruchu ciał za pomocą wyżej przedstawionych równań ruchu przyspieszenie cząstki nie zależy od jej masy, a tylko od geometrii czasoprzestrzeni. Jest to słuszne, gdy źródło pola grawitacyjnego jest na tyle masywne, że ruch innych ciał nie wpływa na zmianę położenia źródła pola.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Nie musi zawierać najkrótszej drogi pomiędzy dowolnymi dwoma swoimi punktami. Na przykład helisa na powierzchni bocznej walca jest linią geodezyjną, ale nie zawiera najkrótszej drogi pomiędzy swoimi punktami leżącymi na jednej euklidesowej prostej równoległej do osi walca.