Linia geodezyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Linia geodezyjna, czasem nazywana krótko: geodezyjnakrzywa w przestrzeni metrycznej (ściślej: w G-przestrzeni), zawierająca najkrótszą drogę pomiędzy dowolnymi dostatecznie bliskimi[1] swoimi punktami, nie dająca się już wydłużyć z żadnej strony. Formalnie definiuje się je jako krzywe o zerowej krzywiznie geodezyjnej. Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi.

Geodezyjne na rozmaitościach riemannowskich[edytuj]

Krzywizna[edytuj]

Należy odróżnić trzy różne pojęcia krzywizny używane w tej sekcji:

  1. Krzywizna rozmaitości riemannowskiej w pewnym punkcie, na której rozpatrujemy geodezyjne – np. krzywizna sfery zanurzonej w przestrzeni euklidesowej
  2. Krzywizna geodezyjna – krzywizna krzywej na rozmaitości, rozpatrywana z punktu widzenia geometrii (zwykle nieeuklidesowej) obowiązującej na tej rozmaitości. Np. koła wielkie sfery, jak równik czy południki, mają zerową krzywiznę geodezyjną.
  3. Krzywizna linii rozpatrywana z punktu widzenia przestrzeni w której rozmaitość jest zanurzona. Np. koła wielkie mają niezerową krzywiznę w przestrzeni euklidesowej, w której zanurzona jest ich sfera.

Własności linii geodezyjnych[edytuj]

Rozpatrzymy ogólne przestrzenie metryczne - rozmaitości riemannowskie, w których mamy dowolne geometrie, mogące zmieniać się nawet przy niewielkim przemieszczeniu z jednego punktu do innego. Linia geodezyjna jest zdefiniowana jako krzywa dla której krzywizna geodezyjna w każdym jej punkcie jest równa zeru.

Dowodzi się, że ze wszystkich krzywych leżących na rozmaitości topologicznej i mających wspólną styczną w danym punkcie rozmaitości, krzywa geodezyjna ma najmniejszą krzywiznę (w sensie 3).

W przypadku rozmaitości o niezerowej krzywiźnie (w sensie 1), geodezyjne są z punktu widzenia geometrii euklidesowej krzywymi niebędącymi prostymi (mają niezerową krzywiznę w sensie 3), np. na sferze są to okręgi kół wielkich. Na powierzchni bocznej walca geodezyjnymi są linie śrubowe oraz (szczególne przypadki) proste i okręgi.

Z punktu widzenia obowiązującej w danej rozmaitości geometrii absolutnej (na ogół geometrii nieeuklidesowej) krzywe geodezyjne są odpowiednikami prostych, zwykle spełniającymi te same aksjomaty, co proste w geometrii euklidesowej z wyjątkiem postulatu równoległości (piątego aksjomatu Euklidesa).

Czasoprzestrzeń[edytuj]

Czasoprzestrzeń w OTW jest szczególnym przypadkiem rozmaitości topologicznej. Linie najkrótsze łączące dwa punkty w zakrzywionej czasoprzestrzeni spełniają równanie:

gdzie jest symbolem Christoffela:

Równanie to wynika z ekstremum funkcjonału

który jest proporcjonalny do długości łuku mierzonego wzdłuż linii geodezyjnej.

Czasoprzestrzeń płaska[edytuj]

Gdy przestrzeń jest płaska, np. jest to przestrzeń Minkowskiego mająca tensor metryczny

,

wtedy równanie linii geodezyjnej ma postać

,

co oznacza, że przyspieszenie ciała jest zerowe. Wynika stąd ruch po prostej ze stałą prędkością.

Sfera[edytuj]

Na sferze 2–wymiarowej, o równaniu (gdzie oznaczają współrzędne kartezjańskie), wygodnie jest wprowadzić współrzędne sferyczne :

,
,

wtedy

Element długości wyraża się przez różniczki

Dokonując podstawienia wzorów zawierających współrzędne otrzyma się:

Porównując powyższy wynik z postacią różniczki odległości we współrzędnych krzywoliniowych

gdzie - współczynniki tensora metrycznego otrzyma się , , , , czyli:

Łatwo policzyć wszystkie składowe symboli Christoffela i rozwiązać równanie linii geodezyjnej. Równanie linii geodezyjnej daje fragmenty okręgów kół wielkich.

Czasoprzestrzeń wokół masywnego ciała[edytuj]

W czasoprzestrzeni zakrzywionej przez ciało sferycznie symetryczne tensor metryczny ma postać

Metryka ta daje np.

W polu tym potencjał grawitacyjny jest równy

gdzie dla rozwiązania Karla Schwarzschilda (czarna dziura)

Interwał czasoprzestrzenny ds definiuje czas własny

W przybliżeniu nierelatywistycznym, gdy prędkości ciała są niewielkie, wtedy i równanie linii geodezyjnej daje równanie Newtona, gdy pomnożymy równanie linii geodezyjnej przez (dowolną) masę ciała. Otrzymujemy równanie Newtona

cząstki w polu grawitacyjnym.

W rozwiązaniach równań ruchu ruch powyżej przedstawionych ruch cząstki nie zależy od jej masy, a tylko od geometrii czasoprzestrzeni. Takie równania są słuszne, gdy źródło pola grawitacyjnego jest na tyle masywne, że ruch innych ciał nie wpływa na stan ruchu (czy spoczynku) źródła pola.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Nie musi zawierać najkrótszej drogi pomiędzy dowolnymi dwoma swoimi punktami. Na przykład helisa na powierzchni bocznej walca jest linią geodezyjną, ale nie zawiera najkrótszej drogi pomiędzy swoimi punktami leżącymi na jednej euklidesowej prostej równoległej do osi walca.