Równanie Einsteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy równania pola. Zobacz też: E = mc2 - równoważność masy i energii.
Ogólna teoria względności
Spacetime curvature.png
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Równanie Einsteinarównanie pola ogólnej teorii względności, zwane też równaniem pola grawitacyjnego.

Równanie to ma następującą postać:

gdzie: - tensor krzywizny Ricciego, - skalar krzywizny Ricciego, - tensor metryczny, - stała kosmologiczna, - tensor energii-pędu, - liczba pi, c - prędkość światła w próżni, G - stała grawitacji. Natomiast opisuje metrykę rozmaitości i jest tensorem symetrycznym 4 x 4, ma więc 10 niezależnych składowych.

Jest to równanie tensorowe, jednak rozbijając tensor na składowe można otrzymać z niego układ równań liczbowych. Biorąc pod uwagę dowolność przy wyborze czterech współrzędnych czasoprzestrzennych, liczba niezależnych równań wynosi 6.

Powyższa postać równania przedstawiona jest przy użyciu konwencji znaków tensora metrycznego (+---) stosowanej często w polskiej literaturze. Konwencja ta nie jest jedyną możliwą. Spotyka się czasem (np. w angielskiej wikipedii) zapis przy użyciu alternatywnej konwencji (-+++), co prowadzi do zmiany znaku prawej strony równania.

Równanie Einsteina można rozumieć jako równanie na tensor metryczny który jest określony poprzez rozkład materii i energii zawarty w tensorze energii-pędu. Pomimo z pozoru prostego wyglądu równanie Einsteina jest bardzo skomplikowane. Spowodowane jest to złożoną i nieliniową zależnością tensora i skalara krzywizny Ricciego od tensora metrycznego. W konsekwencji równanie Einsteina zostało rozwiązane jedynie w nielicznych przypadkach - np. dla układów o sferycznie-symetrycznym rozkładzie masy (np. metryka Schwarzschilda).

W zastosowaniach astrofizycznych (ale nie kosmologicznych) stałą kosmologiczną można zaniedbać. Równanie Einsteina bez stałej kosmologicznej można zapisać w bardziej zwartej postaci definiując tensor Einsteina:

który jest symetrycznym tensorem drugiego rzędu będącym funkcją tensora metrycznego . Przechodząc do jednostek geometrycznych, gdzie , otrzymamy równanie Einsteina w postaci:

.

Lewa strona równania reprezentuje krzywiznę czasoprzestrzeni określoną tensorem metrycznym. Prawa strona natomiast opisuje materię i energię wypełniającą czasoprzestrzeń. Tak więc pomimo złożonej szczegółowej formy matematycznej fundamentalne znaczenie równania Einsteina można zamknąć w stwierdzeniu: rozkład materii i energii w czasoprzestrzeni wprost i jednoznacznie określa jej krzywiznę.

Rozkład materii i energii w czasoprzestrzeni opisywana jest przez tensor energii-pędu. Każda z jego składowych określa strumień pędu na jednostkę objętości przestrzeni. Składowa 0,0 oznacza np. gęstość masy. W zastosowaniach kosmologicznych można przyjąć przybliżony wzór:

gdzie u jest wektorem jednostkowym , jest przestrzennym rozkładem energii a P rozkładem ciśnienia.

Wraz z równaniem geodezyjnych, równanie Einsteina stanowi podstawę matematycznego sformułowania Ogólnej Teorii Względności.

Nieliniowość równania[edytuj]

Równanie Einsteina jest układem 10 sprzężonych równań eliptyczno-hiperbolicznych na składowe tensora metrycznego. Nieliniowość równań odróżnia ogólną teorię względności od innych współczesnych teorii fizycznych. Na przykład równania Maxwella są liniowe tak w polach magnetycznych jak i elektrycznych oraz w rozkładach prądów i ładunków. Podobnie równanie Schrödingera mechaniki kwantowej jest liniowe w funkcji falowej co oznacza, że suma rozwiązań jest także rozwiązaniem.

Rozwiązania w próżni[edytuj]

Pamiętając, że równanie Einsteina można wysumować z , otrzymujemy:

gdzie jest śladem tensora energii-pędu. W próżni gdy i rozwiązaniem równań Einsteina jest przestrzeń Ricci płaska ( (gdy ), np. przestrzeń Minkowskiego ale również rozwiązanie z metryką Karla Schwarzschilda). Gdy stała kosmologiczna jest różna od zera nawet w próżni czasoprzestrzeń ma stałą krzywiznę (Wszechświat de Sittera). Podobnie będzie, gdy materia posiada znikający ślad tensora energii-pędu T. Taką własność ma materia ultrarelatywistyczna (gdy masa m → 0, wtedy równanie stanu daje , przykładem jest gaz fotonowy).

Bibliografia[edytuj]