Równanie Einsteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy równania pola. Zobacz też: E = mc2 - równoważność masy i energii.
Ogólna teoria względności
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Równanie Einsteinarównanie pola ogólnej teorii względności, zwane też równaniem pola grawitacyjnego.

Równanie to ma następującą postać:

R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R  + \Lambda g_{\mu \nu} = - \frac{8 \pi}{c^4} G  T_{\mu \nu}

gdzie: R_{\mu \nu} - tensor krzywizny Ricciego, R - skalar krzywizny Ricciego, g_{\mu \nu} - tensor metryczny, \Lambda - stała kosmologiczna, T_{\mu \nu} - tensor energii-pędu, \pi - liczba pi, c - prędkość światła w próżni, G - stała grawitacji. Natomiast g_{\mu \nu} opisuje metrykę rozmaitości i jest tensorem symetrycznym 4 x 4, ma więc 10 niezależnych składowych.

Jest to równanie tensorowe, jednak rozbijając tensor na składowe można otrzymać z niego układ równań liczbowych. Biorąc pod uwagę dowolność przy wyborze czterech współrzędnych czasoprzestrzennych, liczba niezależnych równań wynosi 6.

Powyższa postać równania przedstawiona jest przy użyciu konwencji znaków tensora metrycznego (+---) stosowanej często w polskiej literaturze. Konwencja ta nie jest jedyną możliwą. Spotyka się czasem (np. w angielskiej wikipedii) zapis przy użyciu alternatywnej konwencji (-+++), co prowadzi do zmiany znaku prawej strony równania.

Równanie Einsteina można rozumieć jako równanie na tensor metryczny g_{\mu\nu} który jest określony poprzez rozkład materii i energii zawarty w tensorze energii-pędu. Pomimo z pozoru prostego wyglądu równanie Einsteina jest bardzo skomplikowane. Spowodowane jest to złożoną i nieliniową zależnością tensora i skalara krzywizny Ricciego od tensora metrycznego. W konsekwencji równanie Einsteina zostało rozwiązane jedynie w nielicznych przypadkach - np. dla układów o sferycznie-symetrycznym rozkładzie masy (np. metryka Schwarzschilda).

W zastosowaniach astrofizycznych (ale nie kosmologicznych) stałą kosmologiczną można zaniedbać. Równanie Einsteina bez stałej kosmologicznej można zapisać w bardziej zwartej postaci definiując tensor Einsteina:

G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}

który jest symetrycznym tensorem drugiego rzędu będącym funkcją tensora metrycznego g_{\mu\nu}. Przechodząc do jednostek geometrycznych, gdzie G=c=1, otrzymamy równanie Einsteina w postaci:

G_{\mu\nu}=-8\pi T_{\mu\nu}.

Lewa strona równania reprezentuje krzywiznę czasoprzestrzeni określoną tensorem metrycznym. Prawa strona natomiast opisuje materię i energię wypełniającą czasoprzestrzeń. Tak więc pomimo złożonej szczegółowej formy matematycznej fundamentalne znaczenie równania Einsteina można zamknąć w stwierdzeniu: rozkład materii i energii w czasoprzestrzeni wprost i jednoznacznie określa jej krzywiznę.

Rozkład materii i energii w czasoprzestrzeni opisywana jest przez tensor energii-pędu. Każda z jego składowych określa strumień pędu na jednostkę objętości przestrzeni. Składowa 0,0 oznacza np. gęstość masy. W zastosowaniach kosmologicznych można przyjąć przybliżony wzór:

T_{\mu \nu}=(\epsilon+P)u_{\mu}u_{\nu}-g_{\mu \nu}P

gdzie u jest wektorem jednostkowym u_{\mu}u^{\mu}=1, \epsilon jest przestrzennym rozkładem energii a P rozkładem ciśnienia.

Wraz z równaniem geodezyjnych, równanie Einsteina stanowi podstawę matematycznego sformułowania Ogólnej Teorii Względności.

Nieliniowość równania[edytuj | edytuj kod]

Równanie Einsteina jest układem 10 sprzężonych równań eliptyczno-hiperbolicznych na składowe tensora metrycznego. Nieliniowość równań odróżnia ogólną teorię względności od innych współczesnych teorii fizycznych. Na przykład równania Maxwella są liniowe tak w polach magnetycznych jak i elektrycznych oraz w rozkładach prądów i ładunków. Podobnie równanie Schrödingera mechaniki kwantowej jest liniowe w funkcji falowej co oznacza, że suma rozwiązań jest także rozwiązaniem.

Rozwiązania w próżni[edytuj | edytuj kod]

Pamiętając, że R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} równanie Einsteina można wysumawać z g^{\mu\nu}, otrzymujemy:

 -R+4 \Lambda = -\kappa T

gdzie T=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} jest śladem tensora energii-pędu. W próżni gdy \epsilon =0 i P=0 rozwiązaniem równań Einsteina jest przestrzeń Ricci płaska (R_{\mu\nu}=0 (gdy \Lambda=0), np. przestrzeń Minkowskiego ale również rozwiązanie z metryką Karla Schwarzschilda). Gdy stała kosmologiczna jest różna od zera nawet w próżni czasoprzestrzeń ma stałą krzywiznę R = 4\Lambda (Wszechświat de Sittera). Podobnie będzie, gdy materia posiada znikający ślad tensora energii-pędu T. Taką własność ma materia ultrarelatywistyczna (gdy masa m → 0, wtedy równanie stanu daje P=\epsilon/3, przykładem jest gaz fotonowy).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]