Przestrzeń Parowiczenki

Przestrzeń Parowiczenki – pojęcie używane w topologii.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenią Parowiczenki nazywamy zwartą przestrzeń Hausdorffa $X$ która nie ma punktów izolowanych, ma bazę złożoną ze zbiorów otwarto–domkniętych, każda para rozłącznych podzbiorów otwartych typu $F_{\sigma }$ w $X$ ma rozłączne domknięcia oraz każdy niepusty zbiór typu $G_{\delta }$ w $X$ ma niepuste wnętrze^[1].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Stwierdzenie, że każda przestrzeń Parowiczenki ciężaru ${\mathfrak {c}}$ jest homeomorficzna z narostem $\beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ jest równoważne hipotezie continuum. Dowód w jedną stronę (przy założeniu hipotezy continuum) przedstawił Parowiczenko^[2], zaś w drugą stronę van Douwen i van Mill^[3]^[1].
Jeżeli $X$ jest przestrzenią Parowiczenki, to każda przestrzeń zwarta Hausdorffa $Y$ ciężaru $\leqslant \aleph _{1}$ jest ciągłym obrazem $X$ ^[1]^[2].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

↑ ^a ^b ^c Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 2007, s. 273-275. ISBN 978-83-01-15254-3.
↑ ^a ^b I. I. Parovicenko. Oб одном универсальном бикомпакте веса ℵ. „ДАН СССР”. 150, s. 36–39, 1963.
↑ Eric K. van Douwen, Jan van Mill. Parovicenko's Characterization of βω- ω Implies CH. „Proc. Amer. Math. Soc.”. 72, s. 539–541, 1978. DOI: 10.2307/2042468. JSTOR: 2042468.

[Engelking-1] Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 2007, s. 273-275. ISBN 978-83-01-15254-3.

[Par-2] I. I. Parovicenko. Oб одном универсальном бикомпакте веса ℵ. „ДАН СССР”. 150, s. 36–39, 1963.

[DM-3] Eric K. van Douwen, Jan van Mill. Parovicenko's Characterization of βω- ω Implies CH. „Proc. Amer. Math. Soc.”. 72, s. 539–541, 1978. DOI: 10.2307/2042468. JSTOR: 2042468.

[1]

[2]

[3]