Przejdź do zawartości

Przestrzeń jednostajnie wypukła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Przestrzeń jednostajnie wypukłaprzestrzeń unormowana spełniająca warunek

Intuicyjnie, przestrzeń jednostajnie wypukła to przestrzeń unormowana, której geometria przypomina geometrię przestrzeni unitarnej. W szczególności każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią jednostajnie wypukłą.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie unitarne

[edytuj | edytuj kod]

Z tożsamości równoległoboku wynika, ze przestrzenie unitarne są jednostajnie wypukłe. Istotnie, dla ustalonego oraz punktów o normach spełniony jest warunek

skąd wynika, że

Przestrzenie

[edytuj | edytuj kod]

James A. Clarkson udowodnił, że dla dowolnego i miary dodatniej przestrzeń Lp(μ) jest jednostajnie wypukła (w szczególności, przestrzenie p są jednostajnie wypukłe dla )[1].

Prostym przykładem przestrzeni, która nie jest jednostajnie wypukła jest płaszczyzna z normą

Jednostajna wypukłość a refleksywność

[edytuj | edytuj kod]
 Osobny artykuł: Twierdzenie Milmana-Pettisa.

Twierdzenie Milmana-Pettisa orzeka, że każda przestrzeń Banacha jednostajnie wypukła jest refleksywna. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi, gdyż istnieją przestrzenie skończenie wymiarowe (a więc refleksywne), które nie są jednostajnie wypukłe. Co więcej, Day[2] wykazał, że istnieją refleksywne przestrzenie Banacha na których nie można wprowadzić normy jednostajnie wypukłej, na przykład

Zbieżność

[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeni jednostajnie wypukłej jeśli ciąg punktów tej przestrzeni jest słabo zbieżny do punktu oraz

to ciąg jest zbieżny normowo (do ).

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. J.A. Clarkson, Uniformly convex spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.” 40 (1936), s. 396–414.
  2. M.M. Day, Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces, „Bull. Amer. Math. Soc.47 (1941), s. 313–317.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • O. Hanner, On the uniform convexity of Lp and lp, „Ark. Mat.” 3 (1956), s. 239–244.
  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976, s. 192.