Rodzina lokalnie skończona

Rodzina lokalnie skończona jest pojęciem topologii ogólnej, charakteryzującym rodziny zbiorów przestrzeni topologicznej. Szczególnym przypadkiem rodziny skończonej jest rodzina dyskretna. Uwaga: rodzina dyskretna jest pojęciem różnym od pojęcia zbioru dyskretnego.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Mówimy, że rodzina ${\mathcal {A}}=(A_{t})_{t\in T}$ podzbiorów przestrzeni topologicznej $X$ jest lokalnie skończona, gdy dla każdego punktu $x\in X$ istnieje otoczenie $U,$ które przecina co najwyżej skończoną liczbę zbiorów z rodziny ${\mathcal {A}}$ (tzn. takie, że zbiór $\{t\in T\colon A_{t}\cap U\neq \varnothing \}$ jest skończony). Jeżeli każdy punkt $x\in X$ ma otoczenie przecinające co najwyżej jeden element rozważanej rodziny, to rodzinę tę nazywamy dyskretną.

Rodzinę zbiorów nazywamy σ-lokalnie skończoną (σ-dyskretną) jeśli jest przeliczalną sumą rodzin lokalnie skończonych (dyskretnych).

Własności

• Każda rodzina dyskretna bądź skończona jest lokalnie skończona.
• Dla każdej rodziny lokalnie skończonej $(A_{t})_{t\in T}$ spełniona jest równość

$\operatorname {cl} \bigcup _{t\in T}A_{t}=\bigcup _{t\in T}\operatorname {cl} A_{t},$

gdzie $\operatorname {cl}$ jest operacją domknięcia.

• Jeśli ${\mathcal {F}}$ jest rodziną lokalnie skończoną i wszystkie zbiory z tej rodziny są domknięte (domknięto-otwarte), to $F=\bigcup {\mathcal {F}}$ jest zbiorem domkniętym (domknięto-otwartym).
• Jeśli $(A_{t})_{t\in T}$ jest rodziną lokalnie skończoną (dyskretną), to rodzina $(\operatorname {cl} A_{t})_{t\in T}$ jest również rodziną lokalnie skończoną (dyskretną).

Zobacz też

• pokrycie zbioru
• rodzina punktowo skończona