Rodzina lokalnie skończona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rodzina lokalnie skończona jest pojęciem topologii ogólnej, charakteryzującym rodziny zbiorów przestrzeni topologicznej. Szczególnym przypadkiem rodziny skończonej jest rodzina dyskretna. Uwaga: rodzina dyskretna jest pojęciem różnym od pojęcia zbioru dyskretnego.

Definicja[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Mówimy, że rodzina podzbiorów przestrzeni topologicznej jest lokalnie skończona, gdy dla każdego punktu istnieje otoczenie , które przecina co najwyżej skończoną liczbę zbiorów z rodziny (tzn. takie, że zbiór jest skończony). Jeżeli każdy punkt ma otoczenie przecinające co najwyżej jeden element rozważanej rodziny, to rodzinę tę nazywamy dyskretną.

Rodzinę zbiorów nazywamy σ-lokalnie skończoną (σ-dyskretną) jeśli jest przeliczalną sumą rodzin lokalnie skończonych (dyskretnych).

Własności[edytuj]

  • Każda rodzina dyskretna bądź skończona jest lokalnie skończona.
  • Dla każdej rodziny lokalnie skończonej spełniona jest równość
,
gdzie jest operacją domknięcia.
  • Jeśli jest rodziną lokalnie skończoną i wszystkie zbiory z tej rodziny są domknięte (domknięto-otwarte), to jest zbiorem domkniętym (domknięto-otwartym).
  • Jeśli jest rodziną lokalnie skończoną (dyskretną), to rodzina jest również rodziną lokalnie skończoną (dyskretną)[1].

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. strona 29-31. ISBN 3-88538-006-4