Rozkład według wartości osobliwych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozkład według wartości osobliwych (rozkład według wartości szczególnych, dekompozycja głównych składowych, dekompozycja na wartości singularne, dekompozycja SVD, rozkład SVD, algorytm SVD (SVD - z ang. Singular Value Decomposition)) to pewien rozkład macierzy (dekompozycja) na iloczyn trzech specyficznych macierzy.

Jest to metoda matematyczna stosowana m.in. w analizie statystycznej służąca do redukcji wymiaru macierzy. Posiada wiele zastosowań np. przy przetwarzaniu obrazów i sygnałów, w robotyce i automatyce.

Teza[edytuj]

Każdą macierz rzeczywistą A można przedstawić w postaci rozkładu SVD:

gdzie

  • U i V - macierze ortogonalne (czyli , ),
  • Σ - macierz diagonalna (przekątniowa), taka że , gdzie - nieujemne wartości szczególne (osobliwe) macierzy A, zwyczajowo uporządkowane nierosnąco.

Własności[edytuj]

Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to można tak dobrać macierze U oraz V, żeby jej wszystkie wartości szczególne (osobliwe) były dodatnie. Jeżeli którakolwiek wartość szczególna macierzy jest równa 0, to macierz ta jest macierzą osobliwą.

Wartość bezwzględna wyznacznika kwadratowej macierzy A jest iloczynem jej wszystkich wartości szczególnych (osobliwych):

Przykład[edytuj]

Rozważmy macierz ::

Rozkład według wartości osobliwych tej macierzy jest następujący:

Przy czym wartości na przekątnej macierzy to pierwiastki wartości własnych macierzy :, oraz istotnie:

tudzież:

Zobacz też[edytuj]