Macierz ortogonalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz antysymetryczna
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz ortogonalnamacierz kwadratowa o elementach będących liczbami rzeczywistymi, której kolumny (wiersze) są wektorami jednostkowymi, wzajemnie ortogonalnymi.

Macierze ortogonalne wymiaru n × n reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej[1].

Zespolonymi odpowiednikami macierzy ortogonalnych są macierze unitarne. I odwrotnie: macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych[2].

Warunki równoważne ortogonalności macierzy[edytuj]

Niech A\in M_n(\mathbb{R}). Następujące warunki są równoważne:

  1. A jest macierzą ortogonalną[3]
  2. kolumny macierzy A, traktowane jako wektory przestrzeni \mathbb{R}^n tworzą bazę ortonormalną[4]
  3. wiersze macierzy A, traktowane jako wektory przestrzeni \mathbb{R}^n tworzą bazę ortonormalną[4]
  4. kolumny macierzy A, traktowane jako wektory przestrzeni \mathbb{R}^n tworzą układ ortonormalny[5]
  5. wiersze macierzy A, traktowane jako wektory przestrzeni \mathbb{R}^n tworzą układ ortonormalny[6]
  6. A^TA=I, gdzie I oznacza macierz jednostkową wymiaru n\,, a A^T\, oznacza macierz transponowaną względem A\,[7][8]
  7. AA^T=I, gdzie I oznacza macierz jednostkową wymiaru n\,, a A^T\, oznacza macierz transponowaną względem A\,[9]
  8. dla każdej bazy ortonormalnej \{ v_1,\ldots , v_n\} przestrzeni \mathbb{R}^n układ \{ Av_1,\ldots , Av_n\} jest bazą ortonormalną przestrzeni \mathbb{R}^n[10]
  9. macierz A jest odwracalna i A^{-1}=A^T, gdzie A^{-1} oznacza macierz odwrotną do macierzy A, a A^T\, oznacza macierz transponowaną względem A\,[11]
  10. \sum_{j=1}^{n} a_{ij}a_{kj}=\delta_{ik}, gdzie \delta_{ik} jest deltą Kroneckera[12]
  11. \sum_{j=1}^{n} a_{ji}a_{jk}=\delta_{ik}, gdzie \delta_{ik} jest deltą Kroneckera[13]
  12. \forall_{x,y\in\mathbb{R}^n} (Ax)\cdot(Ay)=x\cdot y[14]
  13. \forall_{x\in\mathbb{R}^n} |Ax|=|x|[15]

Własności macierzy ortogonalnych[edytuj]

  • Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub -1[16].
  • Jeśli A,B są macierzami ortogonalnymi tego samego rzędu, to ich iloczyn AB też jest macierzą ortogonalną[17].
  • Macierz odwrotna do macierzy A jest jej macierzą transponowaną, tj. A^{-1}=A^T. Macierz ta też jest ortogonalna.

Grupy O(n) oraz SO(n)[edytuj]

Grupa ortogonalna stopnia n[edytuj]

Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych stopnia n tworzą grupę z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym[18][19], gdyż:

  • iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną,
  • dla każdej macierzy ortogonalnej istnieje macierz odwrotna, która jest ortogonalna,
  • macierz jednostkowa jest ortogonalna - stanowi ona element neutralny działania grupowego, tj. mnożenia macierzy.

Grupę ortogonalna stopnia n oznacza się symbolem O(n) lub O(n,\mathbb{R})[20]. Grupa ta jest podgrupą ogólnej grupy liniowej GL_n(\mathbb{R})[20][21].

Specjalna grupa ortogonalna[edytuj]

Specjalna grupa ortogonalna SO(n) (lub grupa unimodularna \mathcal{SL}(n,\mathbb{R}) ) – to grupa macierzy ortogonalnych stopnia n, których wyznacznik jest równy jeden[22][20]. Grupa ta jest podgrupą grupy ortogonalnej O(n)[20][22].

Przykłady[edytuj]

Poniżej podano przykłady macierzy ortogonalnych. Łatwo można to sprawdzić, wykonując obliczenia iloczynów skalarnych kolumn (traktowanych jako wektory), że są one wzajemnie ortogonalne; to samo dotyczy wierszy.

  • Macierz jednostkowa dowolnego rzędu jest macierzą ortogonalną[23], np.  
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}
  •  
\begin{bmatrix}
0.96 & -0.28\\ 0.28 & 0.96\\
\end{bmatrix}
  •  
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 &  0& 0 & 1\\0 & 1 &  0& 0 & 0\\0 & 0 &  0& 1 & 0\\0 & 0 &  1& 0 & 0\\
\end{bmatrix}

Przypisy

  1. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.198, Definicja 10.9
  2. QR Algorithm for the Computation of the Eigenvalues, Maciej Kluczny, Mateusz Kramarczyk, AGH University of Science and Technology, 2006; Macierz unitarna
  3. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.198, Twierdzenie 10.14 (a)
  4. a b Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Wniosek 9
  5. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.198, Twierdzenie 10.14 (b)
  6. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.198, Twierdzenie 10.14 (f)
  7. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.198, Twierdzenie 10.14 (c)
  8. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Definicja 7.1
  9. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.198, Twierdzenie 10.14 (e)
  10. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 16 d)
  11. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.198, Twierdzenie 10.14 (d)
  12. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.216, Definicja 11.14, wzór (11.15)
  13. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.216, Definicja 11.14, wzór (11.16)
  14. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 16 b)
  15. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 16 c)
  16. Prof. dr hab. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s.136
  17. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 13 b)
  18. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.199, Wniosek 10.15
  19. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.220, Twierdzenie 11.26
  20. a b c d Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.220
  21. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.199, Wniosek 10.15 - dowód
  22. a b Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.199-200, Definicja 10.10
  23. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 13 c)
  24. a b Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.200
  25. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 14 (7.12)
  26. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 14 (7.13)
  27. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s.201, Twierdzenie 10.16
  28. N.W. Jefimow, E.R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN, Warszawa 1976
  29. Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978, s. 145, Twierdzenie VIII.2.12
  30. A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993
  31. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.221

Zobacz też[edytuj]