Macierz ortogonalna

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz antysymetryczna macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz ortogonalna – macierz kwadratowa $A\in M_{n}(\mathbb {R} )$$A\in M_{n}(\mathbb {R} )$ o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość:

$A^{T}\cdot A=A\cdot A^{T}=I_{n}$$A^T\cdot A=A\cdot A^T=I_n$,

gdzie $I_{n}$$I_{n}$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n$$n$, $A^{T}$$A^{T}$ oznacza macierz transponowaną względem $A$$A$.

Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolone są macierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych.

Macierze ortogonalne wymiaru n × n reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Warunki równoważne ortogonalności macierzy

Niech $A\in M_{n}(\mathbb {R} )$$A\in M_{n}(\mathbb {R} )$. Następujące warunki są równoważne:

1. $A$$A$ jest macierzą ortogonalną
2. kolumny macierzy $A$$A$, traktowane jako wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb{R}^n$ tworzą bazę ortonormalną
3. wiersze macierzy $A$$A$, traktowane jako wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb{R}^n$ tworzą bazę ortonormalną
4. kolumny macierzy $A$$A$, traktowane jako wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb{R}^n$ tworzą układ ortonormalny
5. wiersze macierzy $A$$A$, traktowane jako wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb{R}^n$ tworzą układ ortonormalny
6. $A^{T}A=I$$A^{T}A=I$, gdzie $I$$I$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n$$n$, a $A^{T}$$A^{T}$ oznacza macierz transponowaną względem $A$$A$
7. $AA^{T}=I$$AA^{T}=I$, gdzie $I$$I$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n$$n$, a $A^{T}$$A^{T}$ oznacza macierz transponowaną względem $A$$A$
8. dla każdej bazy ortonormalnej $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$$\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb{R}^n$ układ $\{Av_{1},\ldots ,Av_{n}\}$$\{Av_{1},\ldots ,Av_{n}\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb{R}^n$
9. macierz A jest odwracalna i $A^{-1}=A^{T}$$A^{-1}=A^{T}$, gdzie $A^{-1}$$A^{-1}$ oznacza macierz odwrotną do macierzy $A$$A$, a $A^{T}$$A^{T}$ oznacza macierz transponowaną względem $A$$A$
10. $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}a_{kj}=\delta _{ik}$$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}a_{kj}=\delta _{ik}$, gdzie $\delta _{ik}$$\delta _{ik}$ jest deltą Kroneckera
11. $\sum _{j=1}^{n}a_{ji}a_{jk}=\delta _{ik}$$\sum _{j=1}^{n}a_{ji}a_{jk}=\delta _{ik}$, gdzie $\delta _{ik}$$\delta _{ik}$ jest deltą Kroneckera
12. $\forall _{x,y\in \mathbb {R} ^{n}}(Ax)\cdot (Ay)=x\cdot y$$\forall _{x,y\in \mathbb {R} ^{n}}(Ax)\cdot (Ay)=x\cdot y$
13. $\forall _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|Ax|=|x|$$\forall _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|Ax|=|x|$

Własności macierzy ortogonalnych

• Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub –1.
• Jeśli $A,B$$A,B$ są macierzami ortogonalnymi tego samego rzędu, to ich iloczyn $AB$$AB$ też jest macierzą ortogonalną.
• Macierz odwrotna do macierzy $A$$A$ jest jej macierzą transponowaną, tj. $A^{-1}=A^{T}$$A^{-1}=A^{T}$. Macierz ta też jest ortogonalna.
• Macierz jednostkowa jest ortogonalna.

Grupy O(n) oraz SO(n)

Grupa ortogonalna stopnia n

Z własności zbioru macierzy ortogonalnych stopnia n wynika, że zbiór ten tworzy grupę z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym, grupę tę nazywa się grupą ortogonalną stopnia n i oznacza się symbolem $O(n)$$O(n)$ lub $O(n,\mathbb {R} )$$O(n,\mathbb {R} )$. Grupa ta jest podgrupą ogólnej grupy liniowej $GL_{n}(\mathbb {R} )$$GL_{n}(\mathbb {R} )$.

Specjalna grupa ortogonalna

Specjalna grupa ortogonalna $SO(n)$$SO(n)$ (lub grupa unimodularna ${\mathcal {SL}}(n,\mathbb {R} )$${\mathcal {SL}}(n,\mathbb {R} )$) – to grupa macierzy ortogonalnych stopnia n, których wyznacznik jest równy jeden. Grupa ta jest podgrupą grupy ortogonalnej $O(n)$$O(n)$.

Przykłady

Poniżej podano przykłady macierzy ortogonalnych. Łatwo można to sprawdzić, wykonując obliczenia iloczynów skalarnych kolumn (traktowanych jako wektory), że są one wzajemnie ortogonalne; to samo dotyczy wierszy.

• Macierz jednostkowa dowolnego rzędu jest macierzą ortogonalną, np. ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$
• ${\begin{bmatrix}0.96&-0.28\\0.28&0.96\\\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}0.96&-0.28\\0.28&0.96\\\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\\\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\\\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}\cos x&\sin x\\\sin x&-\cos x\\\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}\cos x&\sin x\\\sin x&-\cos x\\\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\\end{bmatrix}}$

• $\left[\!\!{\begin{array}{*{11}{c}}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&\ddots &&&&&&&&&\\0&&1&&&&&&&&\\0&&&-1&&&&&&&\\0&&&&\ddots &&&&&&\\0&&&&&-1&&&&&\\0&&&&&&\cos(\xi _{1})&-\sin(\xi _{1})&&&\\0&&&&&&\sin(\xi _{1})&\cos(\xi _{1})&&&\\0&&&&&&&&\ddots &&\\0&&&&&&&&&\cos(\xi _{k})&-\sin(\xi _{k})\\0&&&&&&&&&\sin(\xi _{k})&\cos(\xi _{k})\\\end{array}}\!\!\right]$$\left[\!\!{\begin{array}{*{11}{c}}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&\ddots &&&&&&&&&\\0&&1&&&&&&&&\\0&&&-1&&&&&&&\\0&&&&\ddots &&&&&&\\0&&&&&-1&&&&&\\0&&&&&&\cos(\xi _{1})&-\sin(\xi _{1})&&&\\0&&&&&&\sin(\xi _{1})&\cos(\xi _{1})&&&\\0&&&&&&&&\ddots &&\\0&&&&&&&&&\cos(\xi _{k})&-\sin(\xi _{k})\\0&&&&&&&&&\sin(\xi _{k})&\cos(\xi _{k})\\\end{array}}\!\!\right]$

Zobacz też

• macierz odwrotna
• macierz unitarna