Macierz ortogonalna
Macierz ortogonalna – macierz kwadratowa o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość:
gdzie oznacza macierz jednostkową wymiaru oznacza macierz transponowaną względem
Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolone są macierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych[1].
Macierze ortogonalne wymiaru n × n reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej[2].
Warunki równoważne ortogonalności macierzy[edytuj | edytuj kod]
Niech Następujące warunki są równoważne:
- jest macierzą ortogonalną[3]
- kolumny macierzy traktowane jako wektory przestrzeni tworzą bazę ortonormalną[4]
- wiersze macierzy traktowane jako wektory przestrzeni tworzą bazę ortonormalną[4]
- kolumny macierzy traktowane jako wektory przestrzeni tworzą układ ortonormalny[5]
- wiersze macierzy traktowane jako wektory przestrzeni tworzą układ ortonormalny[6]
- gdzie oznacza macierz jednostkową wymiaru a oznacza macierz transponowaną względem [7][8]
- gdzie oznacza macierz jednostkową wymiaru a oznacza macierz transponowaną względem [9]
- dla każdej bazy ortonormalnej przestrzeni układ jest bazą ortonormalną przestrzeni [10]
- macierz A jest odwracalna i gdzie oznacza macierz odwrotną do macierzy a oznacza macierz transponowaną względem [11]
- gdzie jest deltą Kroneckera[12]
- gdzie jest deltą Kroneckera[13]
- [14]
- [15]
Własności macierzy ortogonalnych[edytuj | edytuj kod]
- Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub –1[16].
- Jeśli są macierzami ortogonalnymi tego samego rzędu, to ich iloczyn też jest macierzą ortogonalną[17].
- Macierz odwrotna do macierzy jest jej macierzą transponowaną, tj. Macierz ta też jest ortogonalna.
- Macierz jednostkowa jest ortogonalna.
Grupy O(n) oraz SO(n)[edytuj | edytuj kod]
Grupa ortogonalna stopnia n[edytuj | edytuj kod]
Z własności zbioru macierzy ortogonalnych stopnia n wynika, że zbiór ten tworzy grupę z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym[18][19], grupę tę nazywa się grupą ortogonalną stopnia n i oznacza się symbolem lub [20]. Grupa ta jest podgrupą ogólnej grupy liniowej [20][21].
Specjalna grupa ortogonalna[edytuj | edytuj kod]
Specjalna grupa ortogonalna (lub grupa unimodularna ) – to grupa macierzy ortogonalnych stopnia n, których wyznacznik jest równy jeden[20][22]. Grupa ta jest podgrupą grupy ortogonalnej [20][22].
Przykłady[edytuj | edytuj kod]
Poniżej podano przykłady macierzy ortogonalnych. Łatwo można to sprawdzić, wykonując obliczenia iloczynów skalarnych kolumn (traktowanych jako wektory), że są one wzajemnie ortogonalne; to samo dotyczy wierszy.
- Macierz jednostkowa dowolnego rzędu jest macierzą ortogonalną[23], np.
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Inne:
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ QR Algorithm for the Computation of the Eigenvalues, Maciej Kluczny, Mateusz Kramarczyk, AGH University of Science and Technology, 2006; Macierz unitarna.
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Definicja 10.9.
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Twierdzenie 10.14 (a).
- ↑ a b Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Wniosek 9.
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Twierdzenie 10.14 (b).
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Twierdzenie 10.14 (f).
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Twierdzenie 10.14 (c).
- ↑ Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Definicja 7.1.
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Twierdzenie 10.14 (e).
- ↑ Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 16 d).
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Twierdzenie 10.14 (d).
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 216, Definicja 11.14, wzór (11.15).
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 216, Definicja 11.14, wzór (11.16).
- ↑ Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 16 b).
- ↑ Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 16 c).
- ↑ Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 136.
- ↑ Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 13 b).
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 199, Wniosek 10.15.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 220, Twierdzenie 11.26.
- ↑ a b c d Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 220.
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 199, Wniosek 10.15 – dowód.
- ↑ a b Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 199–200, Definicja 10.10.
- ↑ Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 13 c).
- ↑ a b Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 200.
- ↑ Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 14 (7.12).
- ↑ Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 14 (7.13).
- ↑ Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 201, Twierdzenie 10.16.
- ↑ N.W. Jefimow, E.R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN, Warszawa 1976.
- ↑ Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978, s. 145, Twierdzenie VIII.2.12.
- ↑ A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993.
- ↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 221.
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
- J. Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
- A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.
- A. Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7.
- T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2012.
Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]
- Todd Rowland , Orthogonal group, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
|