Macierz ortogonalna

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy Cechy niezależne od bazy: macierz nieosobliwa macierz osobliwa macierz zerowa macierz nilpotentna macierz idempotentna macierz ortogonalna macierz symetryczna macierz dodatnio określona macierz antysymetryczna macierz unitarna macierz hermitowska Cechy zależne od bazy: macierz jednostkowa macierz skalarna macierz diagonalna macierz trójkątna macierz schodkowa macierz klatkowa macierz wstęgowa macierz elementarna macierz rzadka Operacje na macierzach operacje elementarne mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Niezmienniki rząd macierzy wyznacznik macierzy ślad macierzy minor macierzy widmo macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz ortogonalna – macierz kwadratowa $A\in M_{n}(\mathbb {R} )$ o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość:

$A^{T}\cdot A=A\cdot A^{T}=I_{n},$

gdzie $I_{n}$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n,$ $A^{T}$ oznacza macierz transponowaną względem $A.$

Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolone są macierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych.

Macierze ortogonalne wymiaru n × n reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Warunki równoważne ortogonalności macierzy

Niech $A\in M_{n}(\mathbb {R} ).$ Następujące warunki są równoważne:

1. $A$ jest macierzą ortogonalną
2. kolumny macierzy $A,$ traktowane jako wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ tworzą bazę ortonormalną
3. wiersze macierzy $A,$ traktowane jako wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ tworzą bazę ortonormalną
4. kolumny macierzy $A,$ traktowane jako wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ tworzą układ ortonormalny
5. wiersze macierzy $A,$ traktowane jako wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ tworzą układ ortonormalny
6. $A^{T}A=I,$ gdzie $I$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n,$ a $A^{T}$ oznacza macierz transponowaną względem $A$
7. $AA^{T}=I,$ gdzie $I$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n,$ a $A^{T}$ oznacza macierz transponowaną względem $A$
8. dla każdej bazy ortonormalnej $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ układ $\{Av_{1},\ldots ,Av_{n}\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$
9. macierz A jest odwracalna i $A^{-1}=A^{T},$ gdzie $A^{-1}$ oznacza macierz odwrotną do macierzy $A,$ a $A^{T}$ oznacza macierz transponowaną względem $A$
10. $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}a_{kj}=\delta _{ik},$ gdzie $\delta _{ik}$ jest deltą Kroneckera
11. $\sum _{j=1}^{n}a_{ji}a_{jk}=\delta _{ik},$ gdzie $\delta _{ik}$ jest deltą Kroneckera
12. $\forall _{x,y\in \mathbb {R} ^{n}}(Ax)\cdot (Ay)=x\cdot y$
13. $\forall _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|Ax|=|x|$

Własności macierzy ortogonalnych

• Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub –1.
• Jeśli $A,B$ są macierzami ortogonalnymi tego samego rzędu, to ich iloczyn $AB$ też jest macierzą ortogonalną.
• Macierz odwrotna do macierzy $A$ jest jej macierzą transponowaną, tj. $A^{-1}=A^{T}.$ Macierz ta też jest ortogonalna.
• Macierz jednostkowa jest ortogonalna.

Grupy O(n) oraz SO(n)

Grupa ortogonalna stopnia n

Z własności zbioru macierzy ortogonalnych stopnia n wynika, że zbiór ten tworzy grupę z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym, grupę tę nazywa się grupą ortogonalną stopnia n i oznacza się symbolem $O(n)$ lub $O(n,\mathbb {R} )$. Grupa ta jest podgrupą ogólnej grupy liniowej $GL_{n}(\mathbb {R} )$.

Specjalna grupa ortogonalna

Specjalna grupa ortogonalna $SO(n)$ (lub grupa unimodularna ${\mathcal {SL}}(n,\mathbb {R} )$) – to grupa macierzy ortogonalnych stopnia n, których wyznacznik jest równy jeden. Grupa ta jest podgrupą grupy ortogonalnej $O(n)$.

Przykłady

Poniżej podano przykłady macierzy ortogonalnych. Łatwo można to sprawdzić, wykonując obliczenia iloczynów skalarnych kolumn (traktowanych jako wektory), że są one wzajemnie ortogonalne; to samo dotyczy wierszy.

• Macierz jednostkowa dowolnego rzędu jest macierzą ortogonalną, np. ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&0{,}96\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}\cos x&\sin x\\\sin x&-\cos x\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}$

• $\left[\!\!{\begin{array}{c}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&\ddots &&&&&&&&&\\0&&1&&&&&&&&\\0&&&-1&&&&&&&\\0&&&&\ddots &&&&&&\\0&&&&&-1&&&&&\\0&&&&&&\cos(\xi _{1})&-\sin(\xi _{1})&&&\\0&&&&&&\sin(\xi _{1})&\cos(\xi _{1})&&&\\0&&&&&&&&\ddots &&\\0&&&&&&&&&\cos(\xi _{k})&-\sin(\xi _{k})\\0&&&&&&&&&\sin(\xi _{k})&\cos(\xi _{k})\end{array}}\!\!\right]$

Zobacz też

• macierz odwrotna
• macierz unitarna

Inne:

• macierz obrotu
• grupa obrotów

Linki zewnętrzne

• Grupa ortogonalna - w j. angielskim Orthogonal group (na WolframMathWorld)

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
• J. Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
• A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.
• A. Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​.
• T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2012.