Macierz ortogonalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy

widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz ortogonalnamacierz kwadratowa o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość:

,

gdzie oznacza macierz jednostkową wymiaru , oznacza macierz transponowaną względem .

Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolonemacierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych[1].

Macierze ortogonalne wymiaru n × n reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej[2].

Warunki równoważne ortogonalności macierzy[edytuj]

Niech . Następujące warunki są równoważne:

  1. jest macierzą ortogonalną[3]
  2. kolumny macierzy , traktowane jako wektory przestrzeni tworzą bazę ortonormalną[4]
  3. wiersze macierzy , traktowane jako wektory przestrzeni tworzą bazę ortonormalną[4]
  4. kolumny macierzy , traktowane jako wektory przestrzeni tworzą układ ortonormalny[5]
  5. wiersze macierzy , traktowane jako wektory przestrzeni tworzą układ ortonormalny[6]
  6. , gdzie oznacza macierz jednostkową wymiaru , a oznacza macierz transponowaną względem [7][8]
  7. , gdzie oznacza macierz jednostkową wymiaru , a oznacza macierz transponowaną względem [9]
  8. dla każdej bazy ortonormalnej przestrzeni układ jest bazą ortonormalną przestrzeni [10]
  9. macierz A jest odwracalna i , gdzie oznacza macierz odwrotną do macierzy , a oznacza macierz transponowaną względem [11]
  10. , gdzie jest deltą Kroneckera[12]
  11. , gdzie jest deltą Kroneckera[13]
  12. [14]
  13. [15]

Własności macierzy ortogonalnych[edytuj]

  • Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub –1[16].
  • Jeśli są macierzami ortogonalnymi tego samego rzędu, to ich iloczyn też jest macierzą ortogonalną[17].
  • Macierz odwrotna do macierzy jest jej macierzą transponowaną, tj. . Macierz ta też jest ortogonalna.
  • Macierz jednostkowa jest ortogonalna.

Grupy O(n) oraz SO(n)[edytuj]

Grupa ortogonalna stopnia n[edytuj]

Z własności zbioru macierzy ortogonalnych stopnia n wynika, że zbiór ten tworzy grupę z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym[18][19], grupę tę nazywa się grupą ortogonalną stopnia n i oznacza się symbolem lub [20]. Grupa ta jest podgrupą ogólnej grupy liniowej [20][21].

Specjalna grupa ortogonalna[edytuj]

Specjalna grupa ortogonalna (lub grupa unimodularna ) – to grupa macierzy ortogonalnych stopnia n, których wyznacznik jest równy jeden[20][22]. Grupa ta jest podgrupą grupy ortogonalnej [20][22].

Przykłady[edytuj]

Poniżej podano przykłady macierzy ortogonalnych. Łatwo można to sprawdzić, wykonując obliczenia iloczynów skalarnych kolumn (traktowanych jako wektory), że są one wzajemnie ortogonalne; to samo dotyczy wierszy.

  • Macierz jednostkowa dowolnego rzędu jest macierzą ortogonalną[23], np.
  • [24][25]
  • [24][26]
  • [27][28][29][30][31]

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. QR Algorithm for the Computation of the Eigenvalues, Maciej Kluczny, Mateusz Kramarczyk, AGH University of Science and Technology, 2006; Macierz unitarna.
  2. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Definicja 10.9.
  3. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Twierdzenie 10.14 (a).
  4. a b Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Wniosek 9.
  5. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Twierdzenie 10.14 (b).
  6. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Twierdzenie 10.14 (f).
  7. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Twierdzenie 10.14 (c).
  8. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Definicja 7.1.
  9. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Twierdzenie 10.14 (e).
  10. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 16 d).
  11. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 198, Twierdzenie 10.14 (d).
  12. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 216, Definicja 11.14, wzór (11.15).
  13. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 216, Definicja 11.14, wzór (11.16).
  14. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 16 b).
  15. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 16 c).
  16. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 136.
  17. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 13 b).
  18. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 199, Wniosek 10.15.
  19. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 220, Twierdzenie 11.26.
  20. a b c d Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 220.
  21. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 199, Wniosek 10.15 – dowód.
  22. a b Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 199–200, Definicja 10.10.
  23. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 13 c).
  24. a b Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 200.
  25. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 14 (7.12).
  26. Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne Stwierdzenie 14 (7.13).
  27. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 201, Twierdzenie 10.16.
  28. N.W. Jefimow, E.R. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN, Warszawa 1976.
  29. Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978, s. 145, Twierdzenie VIII.2.12.
  30. A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993.
  31. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 221.