Macierz ortogonalna

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Definicja

Macierz ortogonalna to macierz kwadratowa $A \in M_n(\mathbb{K})$ spełniająca równość:

$A^T\cdot A=A\cdot A^T=I_n$,

gdzie:

• $\mathbb{K}$ jest ciałem np. $\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Z}_5,$
• $I_n\,$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n\,$,
• $A^T\,$ oznacza macierz transponowaną względem $A\,$.

Innymi słowy, macierz jest ortogonalna, jeśli jej macierzą odwrotną jest macierz do niej transponowana. Macierz ortogonalna to macierz unitarna o wyrazach rzeczywistych.

Własności

Niech $A\,$ będzie macierzą ortogonalną ustalonego wymiaru. Wówczas:

• $A^T = A^{-1}\,$.
• $\det A \in \{1, -1\}$. O macierzach ortogonalnych o dodatnim wyznaczniku mówimy, że zachowują orientację.
  • Dowód:

Wiemy, że $AA^T = I. \,$

Korzystając z twierdzenia Cauchy'ego:

$\det(AA^T) = \det A \cdot \det(A^T)\,$

$\det A \cdot \det(A^T) = \det I = 1\,$

$\det(A^T) = \det A \Rightarrow (\det(A))^2 = 1$

• iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną. Dowód:

$(AB)\cdot(AB)^T = A\cdot B\cdot B^T\cdot A^T = A\cdot A^T = I$

Ponadto macierzami ortogonalnymi są odwrotność macierzy ortogonalnej i macierz jednostkowa. A zatem macierze ortogonalne stopnia $n\,$ tworzą grupę ze względu na mnożenie. Grupa ta jest nazywana grupą ortogonalną stopnia $n\,$ nad ciałem $\mathbb{K}$ i jest oznaczana przez

$O(n,\mathbb{K}) := \{A \in M_n( \mathbb{K} ) : A \cdot A^T = I\}.$

Przykłady

• $\begin{bmatrix} 0.96 & -0.28\\ 0.28 & 0.96\\ \end{bmatrix}$

• $\begin{bmatrix} \cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x\\ \end{bmatrix}$

• $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

Zobacz też

• macierz odwrotna,
• macierz unitarna.

Bibliografia

• Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody Numeryczne. Warszawa, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, 1995, ISBN 83-204-1875-5