Rozkład macierzy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Do wielu zastosowań (zarówno numerycznych jak i teoretycznych) warto przedstawić daną macierz w postaci iloczynu kilku macierzy o określonych własnościach. Niektóre z poniższych rozkładów uogólniają się na operatory liniowe.

Diagonalizacja[edytuj]

 Osobny artykuł: Diagonalizacja.

Diagonalizacja to przedstawienie macierzy A w postaci diagonalnej czyli

gdzie

Diagonalizacja działa tylko dla niektórych macierzy kwadratowych (np. symetrycznych i hermitowskich).

Macierz, którą można zdiagonalizować nazywamy macierzą diagonalizowalną.

Rozkład Jordana[edytuj]

 Osobny artykuł: Postać Jordana.

Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy A w postaci Jordana czyli

gdzie

Jeśli macierz A jest diagonalizowalna, to jej postać Jordana jest równa postaci diagonalnej.

Rozkład wartości osobliwych[edytuj]

 Osobny artykuł: Rozkład wartości osobliwych.

Rozkład wartości osobliwych (nad ) to przedstawienie macierzy A w postaci

gdzie

Rozkład wartości osobliwych macierzy symetrycznej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.


Jeśli mamy do czynienia z macierzą nad ciałem liczb zespolonych , to

gdzie

Zaś rozkład wartości osobliwych macierzy hermitowskiej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Rozkład LU[edytuj]

 Osobny artykuł: Metoda LU.

Rozkład LU to przedstawienie macierzy A w postaci

gdzie

Rozkład Choleskiego[edytuj]

 Osobny artykuł: Rozkład Choleskiego.

Rozkład Choleskiego (nad ) to przedstawienie dodatniej macierzy symetrycznej A w postaci

gdzie

Rozkład Choleskiego (nad ) to przedstawienie dodatniej macierzy hermitowskiej A w postaci

gdzie


Rozkład biegunowy[edytuj]

 Osobny artykuł: Rozkład biegunowy operatora.

Rozkład biegunowy to przedstawienie macierzy A w postaci

gdzie

Zobacz też[edytuj]