Macierz diagonalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy

widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz diagonalnamacierz, zwykle kwadratowa[1], której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Inaczej mówiąc jest to macierz górno- i dolnotrójkątna jednocześnie.

Definicja[edytuj]

Macierz kwadratową stopnia nazywa się diagonalną, jeżeli

.

Często oznacza się ją symbolem , gdzie są kolejnymi współczynnikami leżącymi na głównej przekątnej.

Przykłady[edytuj]

Przykładem macierzy diagonalnej jest macierz

.

Macierzami diagonalnymi są również:

Własności[edytuj]

Macierze diagonalne stopnia tworzą podpierścień pierścienia wszystkich macierzy kwadratowych stopnia . Oznacza to m.in., że suma i iloczyn (Cauchy'ego) macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną.

Stąd dla macierzy

oraz

zachodzą działania

,
.

Zatem potęgowanie macierzy diagonalnej o wykładniku naturalnym sprowadza się do potęgowania elementów tej macierzy:

.

Wyznacznik (o ile jest zdefiniowany) macierzy diagonalnej jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej, jeżeli jest on elementem odwracalnym (dla liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych, lub ogólniej, ciał: niezerowy), to macierz diagonalna jest nieosobliwa. Macierz dołączona do macierzy diagonalnej również jest diagonalna.

Macierz diagonalna jest odwracalna, jeżeli każdy jej element jest odwracalny (jw.). Wówczas wzór na macierz odwrotną macierzy diagonalnej jest analogiczny do wzoru na jej potęgowanie:

.

Każda macierz diagonalna jest symetryczna, jeżeli zaś jej elementy należą do liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to jest ona również normalna. Macierz kwadratowa jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest trójkątna i normalna.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. W niektórych źródłach pojęcie macierzy diagonalnej wprowadza się wśród macierzy prostokątnych. Np. B.Gleichgewicht "Algebra" Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2002, str. 120

Linki zewnętrzne[edytuj]