Równanie funkcyjne Cauchy’ego to równanie funkcyjne zadane wzorem:
![{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef238887bfabc99a6ad3130d412cbdcaa66e911)
Funkcję spełniającą dane równanie nazywamy addytywną. Rozwiązaniami tego równania w zbiorze liczb wymiernych są tylko funkcje liniowe postaci
dla pewnej liczby wymiernej
W zbiorze liczb rzeczywistych dane równanie ma również rozwiązania nieliniowe, co wynika z aksjomatu wyboru. Jednak rozwiązanie jest liniowe, jeśli spełnia chociaż jeden z poniższych warunków:
- funkcja
jest prawostronnie lub lewostronnie ciągła w przynajmniej jednym punkcie,
- funkcja
jest ograniczona w pewnym przedziale,
- funkcja
jest monotoniczna w pewnym przedziale.
Rozwiązania w liczbach wymiernych[edytuj | edytuj kod]
Twierdzenie: Każde rozwiązanie równania funkcyjnego Cauchy’ego w liczbach wymiernych jest funkcją liniową.
Dowód: Wstawiając do równania
otrzymujemy, że
skąd wynika
Zatem
bowiem
Dla
zachodzi
co w połączeniu z poprzednią obserwacją implikuje
dla
Wstawiając
w miejsce
otrzymujemy równość
z której wynika
W takim razie, oznaczając
dla
oraz po podstawieniu
otrzymujemy tezę, bowiem
[1].
Warunki wystarczające na liniowość rozwiązania w liczbach rzeczywistych[edytuj | edytuj kod]
Twierdzenie: Jeśli funkcja
spełnia równanie Cauchy’ego i jest w przynajmniej jednym punkcie prawostronnie lub lewostronnie ciągła, to jest ona funkcją liniową.
Dowód: Niech
będzie punktem prawostronnej ciągłości funkcji
które spełnia równanie funkcyjne Cauchy’ego (dla ciągłości lewostronnej dowód wygląda analogicznie). Dla dowolnego
zachodzi
![{\displaystyle f(x_{1}+x)=f(x_{0}+x+x_{1}-x_{0})=f(x_{0}+x)+f(x_{1}-x_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078cf9267f2341b82299880c3ca506a97bf0693f)
Gdy
to istnieje granica prawej strony powyższego wyrażenia, zatem granica lewej strony również musi istnieć i jest ona równa
![{\displaystyle \lim \limits _{x\to 0^{+}}f(x_{1}+x)=\lim \limits _{x\to 0^{+}}f(x_{0}+x)+f(x_{1}-x_{0})=f(x_{0})+f(x_{1}-x_{0})=f(x_{0}+x_{1}-x_{0})=f(x_{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a16cfb6bdc6aa355fc3a3f4eeeb5492e644c922)
Funkcja
jest zatem prawostronnie ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Dla dowolnego
zachodzi
![{\displaystyle f(x)=\lim _{q\to x^{+}}f(q)=\lim _{q\to x^{+}}cq=cx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed0a11c92468ff0bb143a63136f5ab795bf7991)
gdzie liczby
a z rozwiązania równania w liczbach wymiernych wynika, że
Funkcja
jest więc ciągła.
Twierdzenie: Jeśli funkcja
spełnia równanie Cauchy’ego i jest w pewnym przedziale ograniczona, to jest funkcją liniową.
Dowód: Niech funkcja
spełnia równanie Cauchy’ego i jest ograniczona w przedziale
gdzie
Funkcja
jest w takim razie ograniczona również w przedziale
bowiem
a prawa strona podanej równości jest ograniczona w tym przedziale. Dla argumentów z tego przedziału zachodzi zatem ograniczenie
Dla
zachodzi zatem
![{\displaystyle |f(x)|={\frac {\left|f\left(\left\lfloor {\frac {b-a}{x}}\right\rfloor \cdot x\right)\right|}{\left\lfloor {\frac {b-a}{x}}\right\rfloor }}\leqslant {\frac {K}{\left\lfloor {\frac {b-a}{x}}\right\rfloor }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdaed881b56b37468476892cad980a51885ed57a)
Przy
prawa strona nierówności zbiega do 0, zatem
ale z drugiej strony
więc funkcja ta ma w zerze punkt prawostronnej ciągłości. Na mocy poprzedniego twierdzenia musi ona być funkcją liniową.
Twierdzenie: Jeśli funkcja
spełnia równanie Cauchy’ego i jest na pewnym przedziale monotoniczna, to jest ona funkcją liniową.
Dowód: Dowód wynika wprost z tego, że każda funkcja monotoniczna posiada w przedziale monotoniczności punkt ciągłości. Alternatywnie dowód wynika stąd, że funkcja monotoniczna w przedziale
jest w nim ograniczona przez
i
[1]
Istnienie nieliniowych rozwiązań w liczbach rzeczywistych[edytuj | edytuj kod]
Twierdzenie: W liczbach rzeczywistych istnieją nieliniowe rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego. Ich istnienie wymaga jednak założenia aksjomatu wyboru.
Dowód: Rozpatrzmy przestrzeń wektorową
Z równoważnego aksjomatowi wyboru lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że przestrzeń ta ma pewną bazę
Każdą liczbę rzeczywistą
można więc jednoznacznie przedstawić jako sumę
gdzie
są skalarami z ciała
i tylko skończenie wiele spośród nich jest różnych od zera. Możemy przyjąć dowolne wartości dla funkcji
na wektorach bazowych i określić wzór
następująco:
![{\displaystyle f(x)=f\left(\sum _{i\in I}x_{i}\lambda _{i}\right)=\sum _{i\in I}f(x_{i})\lambda _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d12df2b2a20365db18fa386630dcc470853e42f)
Taka funkcja jest rzeczywiście dobrze określona, co wynika z jedyności rozkładu liczb rzeczywistych na wektory bazowe. Ponadto jest ona rozwiązaniem równania funkcyjnego Cauchy’ego, bowiem dla dowolnych rzeczywistych
zachodzi
a także
![{\displaystyle f(x)+f(y)=\sum _{i\in I}f(x_{i})p_{i}+\sum _{i\in I}f(x_{i})q_{i}=\sum _{i\in I}f(x_{i})(p_{i}+q_{i})=f(x+y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e601b63aab3175f1f76b9af432c3c1f298393b)
Tak określona funkcja
jest liniowa wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie
ma stałą wartość dla każdego
Aby otrzymać nieliniowe rozwiązanie wystarczy tak dobrać wartości na wektorach bazowych, żeby warunek ten nie był spełniony.
[potrzebny przypis]
Własności nieliniowych rozwiązań[edytuj | edytuj kod]
Twierdzenie: Wykres każdego nieliniowego rozwiązania równania funkcyjnego Cauchy’ego w liczbach rzeczywistych jest gęsty w
Dowód: Bez straty ogólności załóżmy, że
(jeśli
i
to jest to tylko kwestia pomnożenia przez stałą). W takim razie
dla
Ponieważ funkcja ta jest nieliniowa, to istnieje takie
że
czyli
dla pewnego
Weźmy dowolne koło o środku w punkcie
i promieniu
gdzie
(jest to wystarczające, ponieważ
jest gęste w
). Niech
i
będzie taką liczbą wymierną, że
Ponadto niech
będzie taką liczbą wymierną, że
Weźmy
Wtedy:
![{\displaystyle Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))=x+bf(\alpha )-bf(a)=y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ab=y+b(\alpha -a)+\delta (b-\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5966ce169b0633a89e128e29db1652fbf119a2e)
![{\displaystyle (Y-y)^{2}+(X-x^{2})={\big (}b(\alpha -a)+\delta (b-\beta ){\big )}^{2}+{\big (}b(\alpha -a){\big )}^{2}<\left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3}}\right)^{2}={\frac {5}{9}}r^{2}<r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab78996ba5f1106557767aaf62eb0a90c56603bf)
Punkt
należy do wnętrza koła, co dowodzi gęstości wykresu funkcji.
Dla
dowód wygląda podobnie.
Oznaczamy
oraz dobieramy
w ten sposób, aby spełniały
Podstawiając
otrzymujemy
Zatem
![{\displaystyle (Y-y)^{2}+(X-x)^{2}=(b\delta -\beta \delta )^{2}+(b(\alpha -a))^{2}<{\frac {r^{2}}{9}}+{\frac {r^{2}}{9}}<r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b695cc5b6dd9c5f1c609f98b80f2df6290fa9a)
W takim razie punkt
należy do wnętrza koła, co kończy dowód przypadku, gdy
[potrzebny przypis]
- ↑ a b StanisławS. Gładysz StanisławS., Wste̜p do topologii, Warszawa 1981, s. 31–32, ISBN 978-83-01-01809-2 [dostęp 2023-07-11] .