Słaba homotopijna równoważność
Słaba homotopijna równoważność – odwzorowanie ciągłe między przestrzeniami topologicznymi indukujące izomorfizm grup homotopii.
Formalna definicja[edytuj | edytuj kod]
Niech będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie ciągłe nazywa się słabą homotopijną równoważnością, jeżeli indukuje bijekcję między składowymi łukowymi przestrzeni i przestrzeni oraz dla wszystkich homomorfizm indukowany jest izomorfizmem, gdzie oznacza -tą grupę homotopii zaczepioną w punkcie [1].
Własności[edytuj | edytuj kod]
- Każda homotopijna równoważność jest słabą homotopijną równoważnością.
- Złożenie słabych homotopijnych równoważności jest słabą homotopijną równoważnością.
- Słaba homotopijna równoważność między CW-kompleksami jest homotopijną równoważnością. Jest to treść twierdzenia Whiteheada.
- Przekształcenie homotopijne ze słabą homotopijną równoważnością jest słabą homotopiją równoważnością[1].
- Z istnienia słabej homotopopijnej równoważności nie wynika istnienie słabej homotopijnej równoważności [2].
Przykłady[edytuj | edytuj kod]
- Jeżeli przestrzenie oraz są ściągalne, to każde odwzorowanie jest słabą homotopijną równoważnością.
- Niech oraz Para jest skończoną przestrzenią topologiczną mającą dwa zbiory jednopunktowe otwarte i dwa domknięte. Jeżeli na sferze wybierzemy dwa różne punkty to jest sumą dwu rozłącznych zbiorów otwartych Każde przekształcenie takie, że jest słabą homotopijną równoważnością[2]. Warto zauważyć, że dowolne odwzorowanie ciągłe musi być stałe, w szczególności nie istnieje słaba homotopijna równoważność
- Ogólniej, dla każdego kompleksu symplicjalnego istnieje -przestrzeń Aleksandrowa (skończona, gdy jest skończony) oraz słaba homotopijna równoważność [2].