CW-kompleks

Definicja

Przestrzeń topologiczną $X$ nazywa się CW-kompleksem, jeśli można ją przedstawić w postaci sumy rozłącznych zbiorów $\sigma _{i}^{k},$ nazywanych komórkami, gdzie $i$ jest numerem komórki, a $k$ – jej wymiarem, to znaczy

$X=\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\bigcup \limits _{i\in I_{k}}\sigma _{i}^{k},$

gdzie $I_{k}$ są zbiorami indeksów, a dla każdej $k$-komórki $\sigma _{i}^{k}$ jest określone odwzorowanie ciągłe (tak zwane odwzorowanie charakterystyczne) $\chi _{i}^{k}:D^{k}\to X$ pewnej domkniętej kuli $k$-wymiarowej w przestrzeń $X,$ które ma własności następujące:

1. Ograniczenie odwzorowania $\chi _{i}^{k}:D^{k}\to X$ do wnętrza kuli $\operatorname {Int} D^{k}$ jest homeomorfizmem $\operatorname {Int} D^{k}$ na komórkę $\sigma _{i}^{k}.$
2. Ograniczenie komórki $\sigma _{i}^{k},$ czyli ${\overline {\sigma }}_{i}^{k}\setminus \sigma _{i}^{k},$ gdzie ${\overline {\sigma }}_{i}^{k}$ jest domknięciem zbioru $\sigma _{i}^{k}$ w $X,$ zawiera się w sumie skończonej liczby komórek mniejszego wymiaru.
3. Zbiór $Y\subset X$ jest zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej komórki $\sigma _{i}^{k}$ zbiór $(\chi _{i}^{k})^{-1}(Y)\cap D^{k}$ jest domknięty w $D^{k}.$

Przykłady

• Sfera $n$-wymiarowa $S^{n}$ może być przedstawiona w postaci sumy dwóch komórek, 0-wymiarowej i $n$-wymiarowej:

$S^{n}=\sigma ^{0}\cup \sigma ^{n}$.

• Torus $T^{2}$ jest sumą jednej komórki 0-wymiarowej, dwóch komórek 1-wymiarowych i jednej komórki 2-wymiarowej:

$T^{2}=\sigma ^{0}\cup \bigcup \limits _{k=1}^{2}\sigma _{k}^{1}\cup \sigma ^{2}$

Bibliografia

• Анатолий Фоменко: Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. Ижевск: 1999.brak strony w książce

Literatura dodatkowa

• Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991. ISBN 83-01-10141-5.brak strony w książce