Złożenie funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
CarsracBot (dyskusja | edycje) m robot dodaje: eo:Funkcia komponaĵo |
m robot dodaje: nl:Functie-compositie |
||
Linia 59: | Linia 59: | ||
[[it:Composizione di funzioni]] |
[[it:Composizione di funzioni]] |
||
[[he:הרכבת פונקציות]] |
[[he:הרכבת פונקציות]] |
||
[[nl:Functie-compositie]] |
|||
[[pt:Composição de funções]] |
[[pt:Composição de funções]] |
||
[[ru:Композиция функций]] |
[[ru:Композиция функций]] |
Wersja z 22:29, 5 wrz 2008
Złożenie (superpozycja) funkcji – funkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.
Definicja
Niech oraz będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję taką, że
- .
Funkcje oraz nazywa się funkcjami składanymi, zaś nosi również nazwę funkcji złożonej.
Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany . Dla powyższych funkcji
- ,
zatem
- .
Własności
Łączność operatora składania oznacza, że , czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis .
Z istnienia złożenia nie wynika istnienie . Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór jest tożsamy z . Mamy wówczas , w takim przypadku na ogół różni się od funkcji .
Przykład
Niech i . Wtedy
- , natomiast
- .
Widać, iż jest inna niż .
Struktura grupy
- Osobny artykuł:
Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy. Przykłady:
- , czyli grupa symetryczna danego zbioru , oznaczana również przez albo , czyli grupa wszystkich bijekcji .
- Zbiór wszystkich odwzorowań jest połgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.
Składanie funkcji samej ze sobą
Jeżeli , to można wykonać złożenie samą ze sobą – otrzymaną funkcję oznacza się zazwyczaj . Analogicznie, , itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.
Dodatkowo funkcję , dla której nazywamy inwolucją.
Tradycyjnie jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (lub iloczyn punktowy), czyli . W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: zapis oznacza właśnie . Choć zaleca się zapis nawiasowy, to zwykle nie prowadzi to jednak do większych nieporozumień.