Reguła łańcuchowa

Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.

Twierdzenie dla funkcji jednej zmiennej

Niech $f,g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ będą funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

• $f$ ma w punkcie $x$ pochodną $f'(x)\;{}$ oraz
• $g$ ma w punkcie $y=f(x)$ pochodną $g'(y),$

to funkcja złożona $g\circ f$ ma w punkcie $x$ pochodną równą $g'(f(x))\cdot f'(x).$

Innymi słowy:

$(f\circ g)'=(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)=(f'\circ g)(x)\cdot g'(x).$

Złożenie wielu funkcji

Jeśli funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jest zdefiniowana jako

$f(x)=(f_{1}\circ f_{2}\circ \ldots \circ f_{n})(x),$

to jej pochodna $f'$ ma następującą postać:

$f'(x)=(f_{1}'\circ f_{2}\circ \ldots \circ f_{n})(x)\cdot (f_{2}'\circ f_{3}\circ \ldots \circ f_{n})(x)\cdot \ldots \cdot f_{n}'(x)=\prod \limits _{i=1}^{n}(f_{i}^{'}\circ f_{i+1}\circ \ldots \circ f_{n})(x).$

Notacja Leibniza

W notacji Leibniza reguła łańcuchowa jest łatwa do zapamiętania, bo przypomina działania na zwykłych ułamkach. Jeżeli $y=f(g(x)),$ to wprowadzając pomocniczą zmienną $t$ na oznaczenie $g(x)$ mamy $y=f(t)$ i wówczas:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dt}{dx}}\cdot {\frac {dy}{dt}}.$

Przykłady

Przykład 1

$(\cos x^{3})'=(-\sin x^{3})\cdot (x^{3})'=(-\sin x^{3})\cdot (3x^{2})=-3x^{2}\sin x^{3}.$

Pochodne obliczamy od zewnątrz: pochodną „cosinusa” jest „minus sinus” i stąd czynnik $-\sin x^{3};$ jednak argument cosinusa jest funkcją $x^{3},$ zatem wynik cząstkowy $-\sin x^{3}$ mnożymy przez pochodną tej funkcji, czyli $3x^{2}.$

Przykład 2

$((\sin x^{3})^{2})'=2(\sin x^{3})\cdot (\sin x^{3})'=2(\sin x^{3})\cdot (\cos x^{3})\cdot (x^{3})'$$=2(\sin x^{3})\cdot (\cos x^{3})\cdot 3x^{2}=6x^{2}\cos x^{3}\sin x^{3}$

Jak wyżej, pochodne obliczamy od zewnątrz, a tu funkcją jest „podnoszenie zmiennej do kwadratu”. Jej pochodna to „dwa razy zmienna” i stąd $2\sin x^{3}.$ Jednak zmienna znów jest funkcją i otrzymany wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną: $(\sin x^{3})'.$ Tę obliczamy tak: pochodną „sinusa” jest „cosinus” – stąd $(\cos x^{3});$ jednak i tu zmienna jest funkcją i także ten wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną $(x^{3})'.$

Powyższy przykład ilustruje jak wielokrotnie stosować regułę łańcuchową.

Przykład 3

Przykład specjalny, pochodna funkcji $f(x)=x^{x}.$ Zauważmy, że:

$x^{x}=e^{x\ln x},$

skąd

$(x^{x})'=(e^{x\ln x})'=(e^{x\ln x})\cdot (x\ln x)'=(e^{x\ln x})\cdot (\ln x+{\frac {x}{x}})=x^{x}(\ln x+1).$

Twierdzenie dla funkcji dwóch zmiennych

Niech $f,g,h\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ będą funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

• $g,h$ mają w punkcie $(x_{0},y_{0})$ pochodne cząstkowe, oraz
• $f(u,v)$ ma w punkcie $(u_{0},v_{0})$ pochodne cząstkowe, gdzie $u=g(x_{0},y_{0}),v=h(x_{0},y_{0})$

to funkcja złożona $F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))$ ma w punkcie $(x_{0},y_{0})$ pochodne cząstkowe równe

$F'_{x}(x_{0},y_{0})=f'_{u}(u_{0},v_{0})g'_{x}(x_{0},y_{0})+f'_{v}(u_{0},v_{0})h'_{x}(x_{0},y_{0}),$

$F'_{y}(x_{0},y_{0})=f'_{u}(u_{0},v_{0})g'_{y}(x_{0},y_{0})+f'_{v}(u_{0},v_{0})h'_{y}(x_{0},y_{0}).$

Uogólnienia

Reguła łańcuchowa daje się uogólniać na wszystkie interesujące przypadki. Na przykład analogiczne twierdzenie można wypowiedzieć dla funkcji określonych między przestrzeniami unormowanymi. W szczególności, gdy funkcje działają między przestrzeniami $\mathbb {R} ^{n}$ i $\mathbb {R} ^{m}$ dla pewnych $n,m$ naturalnych, to reguła łańcuchowa sprowadza się do mnożenia odpowiednich macierzy Jacobiego. W pełnej ogólności twierdzenie o różniczkowaniu złożenia można sformułować w następujący sposób:

Niech $X,\ Y,\ Z$ będą przestrzeniami unormowanymi, $D\subseteq X,\ E\subseteq Y$ będą niepustymi, otwartymi podzbiorami oraz dane będą funkcje $f\colon D\to Y,g\colon E\to Z,$ że $f(D)\subseteq E.$ Jeśli $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}\in D,$ to złożenie $g\circ f$ jest różniczkowalne w punkcie $f(x_{0})$ oraz

$d(g\circ f)(x_{0})=dg(f(x_{0}))\circ df(x_{0}).$