Reguła łańcuchowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.

Twierdzenie dla funkcji jednej zmiennej[edytuj]

Niech będą funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

  • ma w punkcie pochodną , oraz
  • ma w punkcie pochodną ,

to funkcja złożona ma w punkcie pochodną równą .

Innymi słowy:

.

Złożenie wielu funkcji[edytuj]

Jeśli funkcja jest zdefiniowana jako

,

to jej pochodna ma następującą postać:

.

Notacja Leibniza[edytuj]

W notacji Leibniza reguła łańcuchowa jest łatwa do zapamiętania, bo przypomina działania na zwykłych ułamkach. Jeżeli y = f(g(x)), to wprowadzając pomocniczą zmienną t na oznaczenie g(x) mamy y = f(t) i wówczas:

.

Przykłady[edytuj]

Przykład 1[edytuj]

Pochodne obliczamy od zewnątrz: pochodną "cosinusa" jest "minus sinus" i stąd czynnik -sin x3; jednak argument cosinusa jest funkcją x3, zatem wynik cząstkowy -sin x3 mnożymy przez pochodną tej funkcji czyli 3x2.

Przykład 2[edytuj]

Jak wyżej, pochodne obliczamy od zewnątrz, a tu funkcją jest "podnoszenie zmiennej do kwadratu". Jej pochodna to "dwa razy zmienna" i stąd 2sin x3. Jednak zmienna znów jest funkcją i otrzymany wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną: (sin x3)′. Tę obliczamy tak: pochodną "sinusa" jest "cosinus" – stąd (cos x3); jednak i tu zmienna jest funkcją i także ten wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną (x3)′.

Powyższy przykład ilustruje jak wielokrotnie stosować regułę łańcuchową.

Przykład 3[edytuj]

Przykład specjalny, pochodna funkcji . Zauważmy, że:

skąd

Twierdzenie dla funkcji dwóch zmiennych[edytuj]

Niech będą funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

  • mają w punkcie pochodne cząstkowe, oraz
  • ma w punkcie pochodne cząstkowe, gdzie

to funkcja złożona ma w punkcie pochodne cząstkowe równe[1]

,
.

Uogólnienia[edytuj]

Reguła łańcuchowa daje się uogólniać na wszystkie interesujące przypadki. Na przykład, analogiczne twierdzenie można wypowiedzieć dla funkcji określonych między przestrzeniami unormowanymi. W szczególności, gdy funkcje działają między przestrzeniami i dla pewnych naturalnych, to reguła łańcuchowa sprowadza się do mnożenia odpowiednich macierzy Jacobiego. W pełnej ogólności twierdzenie o różniczkowaniu złożenia można sformułować w następujący sposób:

Niech będą przestrzeniami unormowanymi, będą niepustymi, otwartymi podzbiorami oraz dane będą funkcje , że . Jeśli jest różniczkowalna w punkcie , to złożenie jest różniczkowalne w punkcie oraz

.

Przypisy

  1. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach cz. 2.