Reguła łańcuchowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.

Twierdzenie dla funkcji jednej zmiennej[edytuj | edytuj kod]

Niech f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} będą funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

  • f ma w punkcie x pochodną f'(x), oraz
  • g ma w punkcie y = f(x) pochodną g'(y),

to funkcja złożona g \circ f ma w punkcie x pochodną równą g'(f(x)) \cdot f'(x).

Innymi słowy:

(f\circ g)'=(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x) = (f'\circ g)(x)\cdot g'(x).

Złożenie wielu funkcji[edytuj | edytuj kod]

Jeśli funkcja f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} jest zdefiniowana jako

f(x)=(f_1 \circ f_2 \circ \ldots \circ f_n)(x),

to jej pochodna f' ma następującą postać:

f'(x)=(f_1' \circ f_2 \circ f_3 \circ \ldots \circ f_n)(x)+(f_2' \circ f_3 \circ \ldots \circ f_n)(x)+\ldots+f_n'(x).

Notacja Leibniza[edytuj | edytuj kod]

W notacji Leibniza reguła łańcuchowa jest łatwa do zapamiętania, bo przypomina działania na zwykłych ułamkach. Jeżeli y = f(g(x)), to wprowadzając pomocniczą zmienną t na oznaczenie g(x) mamy y = f(t) i wówczas:

\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}\cdot\frac{dy}{dt}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykład 1[edytuj | edytuj kod]

(\cos x^3)^{\prime}=(-\sin x^3)\cdot(x^3)^{\prime}=(-\sin x^3)\cdot(3x^2)=-3x^2\sin x^3

Pochodne obliczamy od zewnątrz: pochodną "cosinusa" jest "minus sinus" i stąd czynnik -sin x3; jednak argument cosinusa jest funkcją x3, zatem wynik cząstkowy -sin x3 mnożymy przez pochodną tej funkcji czyli 3x2.

Przykład 2[edytuj | edytuj kod]

((\sin x^3)^2)^{\prime}=2(\sin x^3)\cdot(\sin x^3)^{\prime}=2(\sin x^3)\cdot(\cos x^3)\cdot(x^3)^{\prime}=2(\sin x^3)\cdot(\cos x^3)\cdot3x^2=6x^2\cos x^3\sin x^3

Jak wyżej, pochodne obliczamy od zewnątrz, a tu funkcją jest "podnoszenie zmiennej do kwadratu". Jej pochodna to "dwa razy zmienna" i stąd 2sin x3. Jednak zmienna znów jest funkcją i otrzymany wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną: (sin x3)′. Tę obliczamy tak: pochodną "sinusa" jest "cosinus" – stąd (cos x3); jednak i tu zmienna jest funkcją i także ten wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną (x3)′.

Powyższy przykład ilustruje jak wielokrotnie stosować regułę łańcuchową.

Przykład 3[edytuj | edytuj kod]

Przykład specjalny, pochodna funkcji f(x)=x^x. Zauważmy, że:

x^x = e^{x\ln x}

skąd

(x^x)^{\prime}=(e^{x\ln x})^{\prime}=(e^{x\ln x})\cdot(x\ln x)^{\prime}=(e^{x\ln x})\cdot(\ln x+\frac{x}{x})=x^x(\ln x + 1)

Twierdzenie dla funkcji dwóch zmiennych[edytuj | edytuj kod]

Niech f, g, h: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} będą funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

  • g,h mają w punkcie (x_0,y_0) pochodne cząstkowe, oraz
  • f(u,v) ma w punkcie (u_0,v_0) pochodne cząstkowe, gdzie u=g(x_0,y_0),v=h(x_0,y_0)

to funkcja złożona F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y)) ma w punkcie (x_0,y_0) pochodne cząstkowe równe[1]

F'_x(x_0,y_0)=f'_u(u_0,v_0)g'_x(x_0,y_0)+f'_v(u_0,v_0)h'_x(x_0,y_0),
F'_y(x_0,y_0)=f'_u(u_0,v_0)g'_y(x_0,y_0)+f'_v(u_0,v_0)h'_y(x_0,y_0).

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Reguła łańcuchowa daje się uogólniać na wszystkie interesujące przypadki. Na przykład, analogiczne twierdzenie można wypowiedzieć dla funkcji określonych między przestrzeniami unormowanymi. W szczególności, gdy funkcje działają między przestrzeniami \mathbb{R}^n i \mathbb{R}^m dla pewnych n,m naturalnych, to reguła łańcuchowa sprowadza się do mnożenia odpowiednich macierzy Jacobiego. W pełnej ogólności twierdzenie o różniczkowaniu złożenia można sformułować w następujący sposób:

Niech X,\; Y,\; Z będą przestrzeniami unormowanymi, D \subseteq X,\; E \subseteq Y będą niepustymi, otwartymi podzbiorami oraz dane będą funkcje f\colon D \to Y, g\colon E \to Z, że f(D)\subseteq E. Jeśli f jest różniczkowalna w punkcie x_0 \in D, to złożenie g\circ f jest różniczkowalne w punkcie f(x_0) oraz

d(g\circ f)(x_0)=dg(f(x_0))\circ df(x_0).

Przypisy

  1. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach cz. 2.