Reguła łańcuchowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.

Twierdzenie dla funkcji jednej zmiennej[edytuj | edytuj kod]

Niech będą funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

  • ma w punkcie pochodną oraz
  • ma w punkcie pochodną

to funkcja złożona ma w punkcie pochodną równą

Innymi słowy:

Złożenie wielu funkcji[edytuj | edytuj kod]

Jeśli funkcja jest zdefiniowana jako

to jej pochodna ma następującą postać:

Notacja Leibniza[edytuj | edytuj kod]

W notacji Leibniza reguła łańcuchowa jest łatwa do zapamiętania, bo przypomina działania na zwykłych ułamkach. Jeżeli to wprowadzając pomocniczą zmienną na oznaczenie mamy i wówczas:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykład 1[edytuj | edytuj kod]

Pochodne obliczamy od zewnątrz: pochodną „cosinusa” jest „minus sinus” i stąd czynnik jednak argument cosinusa jest funkcją zatem wynik cząstkowy mnożymy przez pochodną tej funkcji, czyli

Przykład 2[edytuj | edytuj kod]

Jak wyżej, pochodne obliczamy od zewnątrz, a tu funkcją jest „podnoszenie zmiennej do kwadratu”. Jej pochodna to „dwa razy zmienna” i stąd Jednak zmienna znów jest funkcją i otrzymany wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną: Tę obliczamy tak: pochodną „sinusa” jest „cosinus” – stąd jednak i tu zmienna jest funkcją i także ten wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną

Powyższy przykład ilustruje jak wielokrotnie stosować regułę łańcuchową.

Przykład 3[edytuj | edytuj kod]

Przykład specjalny, pochodna funkcji Zauważmy, że:

skąd

Twierdzenie dla funkcji dwóch zmiennych[edytuj | edytuj kod]

Niech będą funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Jeżeli:

  • mają w punkcie pochodne cząstkowe, oraz
  • ma w punkcie pochodne cząstkowe, gdzie

to funkcja złożona ma w punkcie pochodne cząstkowe równe[1]

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Reguła łańcuchowa daje się uogólniać na wszystkie interesujące przypadki. Na przykład analogiczne twierdzenie można wypowiedzieć dla funkcji określonych między przestrzeniami unormowanymi. W szczególności, gdy funkcje działają między przestrzeniami i dla pewnych naturalnych, to reguła łańcuchowa sprowadza się do mnożenia odpowiednich macierzy Jacobiego. W pełnej ogólności twierdzenie o różniczkowaniu złożenia można sformułować w następujący sposób:

Niech będą przestrzeniami unormowanymi, będą niepustymi, otwartymi podzbiorami oraz dane będą funkcje że Jeśli jest różniczkowalna w punkcie to złożenie jest różniczkowalne w punkcie oraz

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Cz. 2.