Inwolucja (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Inwolucjafunkcja, która ma funkcję odwrotną równą jej samej. Równoważnie jest to taka funkcja, która złożona sama ze sobą jest tożsamością.

Z powyższych definicji wynika, że inwolucja musi być funkcją zbioru w siebie; jeśli jest taką funkcją i dla dowolnego zachodzi warunek bądź to funkcję tę nazywa się inwolucją (druga definicja uogólnia się w teorii kategorii na morfizmy).

Własności[edytuj]

Inwolucja zbioru.

Każda inwolucja, jako funkcja odwracalna, jest bijekcją (w przypadku morfizmów – izomorfizmem). Ponadto dla dowolnego jest

Jeśli oznacza zbiór wszystkich funkcji zaś jest inwolucją, to funkcja dana wzorem

jest inwolucją. Podobnie jeżeli funkcja zdefiniowana jest wzorem

to jest ona inwolucją (własności te zachodzą dla morfizmów w dowolnej kategorii).

Przykłady[edytuj]

Trywialnym przykładem inwolucji jest przekształcenie tożsamościowe. Inwolucją jest funkcja czyli kwadratu kartezjańskiego zbioru w siebie dane wzorem zbiorem jej punktów stałych jest przekątna Wiele inwolucji jest indukowanych przez tę inwolucję, np. transpozycja macierzy (opisana inwolucja jest z kolei indukowana przez transpozycję ciągu dwuelementowego, tzn. zamiany osi).

Zmiana znaku jest inwolucją w dowolnej grupie (w notacji addytywnej), a więc pierścieniu (np. liczb całkowitych) czy ciele (np. liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych); odwrotność jest inwolucją w grupie elementów odwracalnych (grupie multiplikatywnej ciała, np. liczb wymiernych, rzeczywistych czy zespolonych różnych od zera). Nietrywialną inwolucją liczb zespolonych jest sprzężenie. W rachunku macierzy inwolucjami są transpozycja, sprzężenie, sprzężenie hermitowskie (połączenie transpozycji i sprzężenia) oraz odwracanie macierzy.

Z punktu widzenia algebry, a w szczególności teorii grup zasadniczo inwolucją nazywa się element rzędu dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu pierwszego, czyli element neutralny; wynika to stąd, iż tworzą one podgrupę grupy symetrycznej złożonej ze wszystkich bijekcji ustalonego zbioru). W ten sposób permutacja jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2; każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji. Grupy Coxetera to grupy generowane przez inwolucje[1].

W geometrii euklidesowej inwolucjami są symetrie (m.in. zwierciadlana, osiowa, środkowa) oraz inwersja. Inwolucje są obiektem głębokich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład [2].

W teorii zbiorów inwolucjami są różnica symetryczna z ustalonym zbiorem czy dopełnienie zbioru (do przestrzeni), które jest inwolucją także w dowolnej algebrze Boole'a. W informatyce inwolucją jest szyfr Rot13.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Bourbaki. Groupes et Algèbres de Lie, Hermann, Paris, Rozdział 4.1.
  2. S. López de Medrano, Involutions on Manifolds, Springer-Verlag, 1971.