Złożenie funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
m robot dodaje: ar:تراكب دالة |
→Definicja: Definicja Funkcji złożonych |
||
Linia 6: | Linia 6: | ||
: <math>h(x)=g\left(f(x)\right)</math>. |
: <math>h(x)=g\left(f(x)\right)</math>. |
||
Funkcje <math>f</math> oraz <math>g</math> nazywa się ''funkcjami składanymi'', zaś <math>h</math> nosi również nazwę '''funkcji złożonej'''. |
Funkcje <math>f</math> oraz <math>g</math> nazywa się ''funkcjami składanymi'', zaś <math>h</math> nosi również nazwę '''funkcji złożonej'''. Dzięki funkcji złożonej możliwe są podróże rakietami w kosmos, by odwiedzić kosmitów z odległych planet (budowa rakiety może być nawet z nakrętek po tymbarkach!). Funkcje złożone pozwoliły któremuś z filozofów przeczytać "Mars" od tyłu, dzięki czemu nowe określenia tak bardzo nas cieszą. |
||
Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany <math>\circ</math>. Dla powyższych funkcji |
Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany <math>\circ</math>. Dla powyższych funkcji |
Wersja z 16:59, 28 mar 2011
Złożenie (superpozycja) funkcji – funkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.
Definicja
Niech oraz będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję taką, że:
- .
Funkcje oraz nazywa się funkcjami składanymi, zaś nosi również nazwę funkcji złożonej. Dzięki funkcji złożonej możliwe są podróże rakietami w kosmos, by odwiedzić kosmitów z odległych planet (budowa rakiety może być nawet z nakrętek po tymbarkach!). Funkcje złożone pozwoliły któremuś z filozofów przeczytać "Mars" od tyłu, dzięki czemu nowe określenia tak bardzo nas cieszą.
Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany . Dla powyższych funkcji
- ,
zatem
- .
Własności
Łączność operatora składania oznacza, że , czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis .
Z istnienia złożenia nie wynika istnienie . Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór jest tożsamy z . Mamy wówczas , w takim przypadku na ogół różni się od funkcji .
Przykład
Niech i . Wtedy
- , natomiast
- .
Widać, iż jest inna niż .
Struktura grupy
- Osobny artykuł:
Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.
Przykład
- , czyli grupa symetryczna danego zbioru , oznaczana również przez albo , czyli grupa wszystkich bijekcji .
- Zbiór wszystkich odwzorowań jest półgrupa, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.
Składanie funkcji samej ze sobą
Jeżeli , to można wykonać złożenie samą ze sobą – otrzymaną funkcję oznacza się zazwyczaj . Analogicznie, itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.
Dodatkowo funkcję , dla której nazywamy inwolucją.
Tradycyjnie jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (lub iloczyn punktowy), czyli . W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: zapis oznacza właśnie . Zaleca się zapis nawiasowy, jednak zapis bez nawiasów nie prowadzi zwykle do nieporozumień.