Zdarzenia losowe niezależne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m MalarzBOT: usuwanie powtórzonych parametrów z szablonów |
|||
Linia 32: | Linia 32: | ||
== Bibliografia == |
== Bibliografia == |
||
* {{cytuj książkę |nazwisko= Jakubowski |imię= Jacek |nazwisko2=Sztencel |imię2=Rafał |autor link2=Rafał Sztencel |inni= |tytuł= Wstęp do teorii prawdopodobieństwa |url= |data= |rok=2004 |miesiąc= |wydawca=SCRIPT |miejsce= Warszawa |id |
* {{cytuj książkę |nazwisko= Jakubowski |imię= Jacek |nazwisko2=Sztencel |imię2=Rafał |autor link2=Rafał Sztencel |inni= |tytuł= Wstęp do teorii prawdopodobieństwa |url= |data= |rok=2004 |miesiąc= |wydawca=SCRIPT |miejsce= Warszawa |id= |rozdział= |adres rozdziału= |cytat = |strony=43-47}} |
||
[[Kategoria:Zdarzenia losowe|Niezależne]] |
[[Kategoria:Zdarzenia losowe|Niezależne]] |
Wersja z 14:53, 21 mar 2015
Zdarzenia losowe niezależne - zdarzenia na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej spełniające warunek
- .
Taka postać warunku na niezależność zdarzeń i wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie nie zależy od zdarzenia , jeśli wiedza nt. zajścia nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia . Co można zapisać jako . Z tej intuicji i wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń () wynika powyższy wzór.
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli , to mówimy, że są one niezależne, gdy spełniony jest warunek
- dla każdego układu indeksów oraz dla każdego .
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia są niezależne.
Własności
- Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
- Gdy zdarzenia są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne też są niezależne oraz:
- .
Por. prawa De Morgana.
Niezależność σ-ciał
σ-ciała , gdzie dla nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych
- .
Jeżeli , to przez rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie , tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór . Dokładniej, dla
- .
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała są niezależne.
Zobacz też
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43-47.