Zdarzenia losowe niezależne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m MalarzBOT: usuwanie powtórzonych parametrów z szablonów |
|||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Zdarzenia losowe niezależne''' |
'''Zdarzenia losowe niezależne''' – [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzenia]] <math>A, B \in \mathcal{A}</math> na pewnej ustalonej [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math> spełniające warunek |
||
⚫ | |||
⚫ | Taka postać warunku na niezależność zdarzeń <math>A</math> i <math>B</math> wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie <math>A</math> nie zależy od zdarzenia <math>B,</math> jeśli wiedza nt. zajścia <math>B</math> nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia <math>A.</math> Co można zapisać jako <math>P(A|B)=P(A).</math> Z tej intuicji i [[Prawdopodobieństwo warunkowe|wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń]] <math>(P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B))</math> wynika powyższy wzór. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | Taka postać warunku na niezależność zdarzeń <math>A</math> i <math>B</math> wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie <math>A</math> nie zależy od zdarzenia <math>B</math> |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Własności == |
== Własności == |
||
* Z definicji wynika, że dwa [[Zdarzenia losowe rozłączne|zdarzenia rozłączne]] są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe. |
* Z definicji wynika, że dwa [[Zdarzenia losowe rozłączne|zdarzenia rozłączne]] są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe. |
||
* Gdy zdarzenia <math>A_1, \ |
* Gdy zdarzenia <math>A_1, \dots, A_n</math> są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne <math>A_1', \dots, A_n'</math> też są niezależne oraz: |
||
: <math>P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)= P\left( \left( \bigcap_{k=1}^n A_k |
: <math>P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)= P\left( \left( \bigcap_{k=1}^n A_k' \right)' \right) = 1-P\left( \bigcap_{k=1}^n A_k' \right) = 1-\prod_{k=1}^n P(A_k') = 1-\prod_{k=1}^n(1-P(A_k)).</math> |
||
Por. [[prawa De Morgana]]. |
Por. [[prawa De Morgana]]. |
||
== Niezależność σ-ciał == |
== Niezależność σ-ciał == |
||
σ-ciała <math>\mathcal{F}_1, \ |
σ-ciała <math>\mathcal{F}_1, \dots, \mathcal{F}_n,</math> gdzie <math>\mathcal{F}_i\subseteq \mathcal{A}</math> dla <math>i\in\{1,\dots, n\}</math> nazywamy '''niezależnymi''', gdy dla dowolnych <math>A_1\in \mathcal{F}_1, \dots, A_n\in \mathcal{F}_n</math> |
||
: <math>P(A_1\cap\ldots \cap A_n)=P(A_1)\cdot\ldots\cdot P(A_n)</math> |
: <math>P(A_1\cap\ldots \cap A_n)=P(A_1)\cdot\ldots\cdot P(A_n).</math> |
||
Jeżeli <math>A_1\in \mathcal{F}_1, \ |
Jeżeli <math>A_1\in \mathcal{F}_1, \dots, A_n\in \mathcal{F}_n,</math> to przez <math>\sigma(A_i)</math> rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie <math>A_i,</math> tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór <math>A_i.</math> Dokładniej, dla <math>i\in\{1,\dots, n\}</math> |
||
: <math>\sigma(A_i)=\{\varnothing, \Omega, A_i, \Omega\setminus A_i\}</math> |
: <math>\sigma(A_i)=\{\varnothing, \Omega, A_i, \Omega\setminus A_i\}.</math> |
||
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia <math>A_1, \ |
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia <math>A_1, \dots, A_n</math> są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy |
||
σ-ciała <math>\sigma(A_1), \ |
σ-ciała <math>\sigma(A_1), \dots, \sigma(A_n)</math> są niezależne. |
||
== Zobacz też == |
== Zobacz też == |
||
Linia 32: | Linia 30: | ||
== Bibliografia == |
== Bibliografia == |
||
* {{cytuj książkę |nazwisko= Jakubowski |imię= Jacek |nazwisko2=Sztencel |imię2=Rafał |autor link2=Rafał Sztencel |
* {{cytuj książkę |nazwisko= Jakubowski |imię= Jacek |nazwisko2=Sztencel |imię2=Rafał |autor link2=Rafał Sztencel |tytuł= Wstęp do teorii prawdopodobieństwa |url= |rok=2004 |wydawca=SCRIPT |miejsce= Warszawa |strony=43–47}} |
||
[[Kategoria:Zdarzenia losowe|Niezależne]] |
[[Kategoria:Zdarzenia losowe|Niezależne]] |
Wersja z 23:05, 13 mar 2019
Zdarzenia losowe niezależne – zdarzenia na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej spełniające warunek
Taka postać warunku na niezależność zdarzeń i wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie nie zależy od zdarzenia jeśli wiedza nt. zajścia nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia Co można zapisać jako Z tej intuicji i wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń wynika powyższy wzór.
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli to mówimy, że są one niezależne, gdy spełniony jest warunek
- dla każdego układu indeksów oraz dla każdego
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia są niezależne.
Własności
- Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
- Gdy zdarzenia są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne też są niezależne oraz:
Por. prawa De Morgana.
Niezależność σ-ciał
σ-ciała gdzie dla nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych
Jeżeli to przez rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór Dokładniej, dla
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała są niezależne.
Zobacz też
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43–47.