Zdarzenia losowe niezależne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Na podstawie Jakubowskiego i Sztencela, drobne redakcyjne. |
drobne merytoryczne, uściślenie |
||
Linia 18: | Linia 18: | ||
== Własności == |
== Własności == |
||
* Z definicji wynika, że dwa [[Zdarzenia losowe rozłączne|zdarzenia rozłączne]] są niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe. Mylenie zdarzeń niezależnych z rozłącznymi jest często występującym i bardzo poważnym błędem. |
* Z definicji wynika, że dwa [[Zdarzenia losowe rozłączne|zdarzenia rozłączne]] są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe. Mylenie zdarzeń niezależnych z rozłącznymi jest często występującym i bardzo poważnym błędem. |
||
* Gdy zdarzenia <math>A_1, \dots, A_n</math> są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne <math>A_1', \dots, A_n'</math> też są niezależne oraz: |
* Gdy zdarzenia <math>A_1, \dots, A_n</math> są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne <math>A_1', \dots, A_n'</math> też są niezależne oraz: |
||
: <math>P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)= P\left( \left( \bigcap_{k=1}^n A_k' \right)' \right) = 1-P\left( \bigcap_{k=1}^n A_k' \right) = 1-\prod_{k=1}^n P(A_k') = 1-\prod_{k=1}^n(1-P(A_k)).</math> |
: <math>P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)= P\left( \left( \bigcap_{k=1}^n A_k' \right)' \right) = 1-P\left( \bigcap_{k=1}^n A_k' \right) = 1-\prod_{k=1}^n P(A_k') = 1-\prod_{k=1}^n(1-P(A_k)).</math> |
Wersja z 00:04, 13 mar 2020
Zdarzenia losowe niezależne – zdarzenia na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej spełniające warunek
Taka postać warunku na niezależność zdarzeń i wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie nie zależy od zdarzenia jeśli wiedza na temat zajścia nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia
Wychodząc z tych intuicji można korzystając z pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego podać równoważną definicję niezależności zdarzeń
przy założeniu
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli to mówimy, że są one niezależne, gdy spełniony jest warunek
- dla każdego układu indeksów oraz dla każdego
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia są niezależne.
Z drugiej strony definiuje się też zdarzenia losowe niezależne parami, co w przypadku (skończonego lub nieskończonego) ciągu zdarzeń ma miejsce wtedy, gdy dowolna para zdarzeń z tego ciągu jest niezależna. Warunek ten jest słabszy od warunku „pełnej” niezależności zdarzeń.
Własności
- Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe. Mylenie zdarzeń niezależnych z rozłącznymi jest często występującym i bardzo poważnym błędem.
- Gdy zdarzenia są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne też są niezależne oraz:
Porównaj: prawa De Morgana.
Niezależność σ-ciał
σ-ciała gdzie dla nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych
Jeżeli to przez rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór Dokładniej, dla
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała są niezależne.
Zobacz też
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43–47.
- Przystępne wyjaśnienie niezależności zdarzeń na przykładzie