Rozmaitość różniczkowa: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja nieprzejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 12:21, 19 gru 2008

Rozmaitość różniczkowa – rozmaitość topologiczna, której parametryzacja jest funkcją klasy co najmniej $C^{1}$ posiadającą nieosobliwą różniczkę w każdym punkcie dziedziny.

Definicja

Zbiór $M\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ jest rozmaitością różniczkową (klasy $C^{1}$ ), gdy:

$\forall _{p\in M}$ istnieje w $\mathbb {R} ^{N}$ otwarte otoczenie $U\ni p$ oraz zbiór otwarty $V\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ i
homeomorfizm $\alpha :(U\cup M)\to V$ taki, że
odwzorowanie $\alpha ^{-1}:V\to U\cup M$ jest klasy $C^{1}$ i
różniczka $D\alpha ^{-1}(x)$ jest iniekcją dla każdego $x\in V$ .

Funkcję $\alpha$ nazywamy mapą rozmaitości, zaś $\alpha ^{-1}$ jej parametryzacją.

Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa uogólnionym dyfeomorfizmem, czy też raczej po prostu dyfeomorfizmem rozszerzejąc w ten sposób jego definicję.

Klasy

W definicji można zażądać wyższej gładkości rozmaitości poprzez zastąpienie klasy $C^{1}$ funkcji inną. Rozmaitością różniczkową klasy $C^{r}$ nazywamy rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy $C^{r}$ dla $r\in \mathbb {N} ^{*}\cup \{\infty \}$ . Rozmaitość topologiczna jest rozmaitością różniczkową klasy $C^{0}$ , z kolei rozmaitością analityczną nazywa się rozmaitość klasy $C^{\omega }$ .

Zobacz też

@@ Linia 3: / Linia 3: @@
 ==Definicja==
 [[Zbiór]] <math>M \subseteq \mathbb R^N</math> jest '''rozmaitością różniczkową''' (klasy <math>C^1</math>), gdy:
-* <math>\forall_{p \in M}</math> istnieje w <math>\mathbb R^N</math> [[zbiór otwarty|otwarte]] [[otoczenie (matematyka)|otoczenie]] <math>U \in p</math> oraz zbiór otwarty <math>V \subseteq \mathbb R^N</math> i
+* <math>\forall_{p \in M}</math> istnieje w <math>\mathbb R^N</math> [[zbiór otwarty|otwarte]] [[otoczenie (matematyka)|otoczenie]] <math>U \ni p</math> oraz zbiór otwarty <math>V \subseteq \mathbb R^N</math> i
 * [[homeomorfizm]] <math>\alpha: (U \cup M) \to V</math> taki, że
 * odwzorowanie <math>\alpha^{-1}: V \to U \cup M</math> jest klasy <math>C^1</math> i