Funkcja różnowartościowa

Przykład iniekcji

Inny przykład iniekcji

Wykres funkcji $y=e^{x}=\exp x$ – zwanej eksponensem – w kartezjańskim układzie współrzędnych. Liczba $e$ to podstawa logarytmu naturalnego, a ta funkcja jest przykładem iniekcji

Funkcja różnowartościowa, iniekcja, injekcja, funkcja 1-1, funkcja jednokrotna – rodzaj funkcji matematycznych definiowany na kilka równoważnych sposobów:

• iniekcja dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości. Jeśli funkcja $f:X\to Y$ jest iniekcją, to dla dowolnych dwóch elementów $a,b\in X$ zachodzi wynikanie:

$a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b);$

• jednakowe wartości są przyjmowane tylko dla jednakowych argumentów:

$f(a)=f(b)\Rightarrow a=b;$

• każda wartość takiej funkcji jest przyjmowana dokładnie raz – przeciwobraz singletonu ma co najwyżej jeden element;
• przy iniekcji przeciwobraz obrazu to wyjściowy zbiór:

$A\subseteq X\Rightarrow f^{-1}[f[A]]=A.$

• istnieje lewostronna funkcja odwrotna:

$g:Y\to X,\ g\circ f=\mathrm {id_{X}} ;$

• dla dowolnych funkcji $u:U\to X,$ $\ v:V\to X$ zachodzi wynikanie (implikacja):

$f\circ u=f\circ v\Rightarrow u=v.$

Dwie pierwsze definicje są równoważne na mocy logicznego prawa kontrapozycji.

Termin iniekcja powstał najpóźniej w 1950 roku, kiedy to Saunders Mac Lane użył go w jednym z amerykańskich czasopism matematycznych.

• 
  Nieinjekcyjna surjekcyjna funkcja (surjekcja, nie bijekcja)
• 
  Nieinjekcyjna niesurjekcyjna funkcja (również nie bijekcja)

Przykłady i własności

Diagram przemienny przedstawiający iniekcję jako funkcję odwracalną lewostronnie

Złożenie dwóch funkcji iniekcyjnych również jest iniekcją

• numer PESEL – funkcja przypisująca osobie jej numer PESEL jest iniekcją - dwie osoby nie mogą mieć jednakowego numer PESEL;
• transliteracje to iniekcje między zbiorami ciągów (krotek) znaków. Niektóre transliteracje są też iniekcjami między zbiorami samych znaków;
• pierwiastek dowolnego stopnia naturalnego;
• funkcja wykładnicza zmiennej rzeczywistej; przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, przez co nie jest „na” przy takiej samej przeciwdziedzinie;
• funkcje kołowe;
• dowolna inna funkcja ściśle monotoniczna (ściśle rosnąca lub ściśle malejąca);
• negacja na zbiorze zdań oznajmujących danego języka;
• wszelkie bijekcje.

Wprost z definicji wynika, że iniekcja nie może być funkcją parzystą (jeśli jej dziedzina zawiera jakąkolwiek niezerową wartość) ani okresową, ponieważ własności te są zdefiniowane przez równość wartości dla różnych argumentów. Iniekcjami nie są również:

• wielomiany rzeczywiste stopnia parzystego, nawet jeśli nie są funkcjami parzystymi; np. $(x-1)^{4}$ , przy czym możliwe jest zawężenie dziedziny wielomianu, tak by był on iniekcją, ale tylko jako funkcja określona na zawężonej dziedzinie (np wielomian $(x-1)^{4}$ jest iniekcją na zbiorze liczb większych od 1).
• funkcja Collatza – jest sumą mnogościową iniekcji na zbiorach liczb parzystych i nieparzystych, jednak dla argumentu parzystego i nieparzystego może przyjąć jednakową wartość. Przykładowo $c(3)=c(20)=10.$

Zobacz też

• monomorfizm
• twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera – o konsekwencji istnienia pewnych iniekcji
• zasada szufladkowa Dirichleta – fakt nieistnienia pewnych iniekcji

Bibliografia

• Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. T. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14296-4.
• Wacław Leksiński, Ireneusz Nabiałek, Wojciech Żakowski: Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania. Wyd. V. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995, seria: Podręczniki akademickie: elektronika, informatyka, telekomunikacja. ISBN 83-204-1892-5.
• Beata Madras-Kobus, Justyna Kozłowska, Marta Jarocka, Anna Małgorzata Olszewska: Funkcje jednej zmiennej i ich granice: podręcznik dla studentów studiów licencjackich i inżynierskich. Białystok: Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockiej, 2021. ISBN 978-83-66391-67-3.
• Włodzimierz Wrona: Matematyka. Podstawowy wykład politechniczny, część I. Wyd. II poprawione. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1965.