Otoczenie (matematyka)

Otoczenie punktu – dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt.

Definicja otoczenia punktu

Zbiór $V$ na płaszczyźnie jest otoczeniem punktu $p$ jeżeli istnieje koło bez brzegu (czyli otwarta kula w przestrzeni dwuwymiarowej) zawierające $p$ i zawarte w $V.$

Niech $x$ będzie elementem przestrzeni topologicznej $(X,\tau ).$ Zbiór $V\subseteq X$ jest otoczeniem punktu $x,$ gdy istnieje zbiór otwarty $U\in \tau ,$ dla którego

$x\in U\subseteq V.$

Innymi słowy, zbiór $V$ jest otoczeniem punktu $x,$ jeśli $x\in {\text{Int}}V,$ gdzie ${\text{Int}}V$ oznacza wnętrze zbioru $V$.

Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym – wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym itp.

Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt. W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.

Definicja otoczenia zbioru

Niech $S$ jest podzbiorem $X.$ Otoczeniem zbioru $S$ jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera $S.$ W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru

Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.

Otoczenia w przestrzeniach metrycznych

W przestrzeni metrycznej $X$ z metryką $d$ otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.

Definicja otoczenia punktu

$V$ jest otoczeniem punktu $p$ jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie $p$ i promieniu $r>0,$ tj.

$B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(x,p)<r\},$

która jest zawarta w zbiorze $V.$

Definicja otoczenia jednostajnego zbioru

Zbiór $S$ na płaszczyźnie i jednostajne otoczenie $V$ zbioru $S.$

Otoczeniem jednostajnym zbioru $S$ w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór $V$ o tej własności, że istnieje taka liczba $r>0,$ że dla każdego $p\in S$ kula otwarta o środku w punkcie $p$ i promieniu $r,$ tj.

$B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(x,p)<r\},$

jest zawarta w zbiorze $V.$

Innymi słowy, zbiór $V$ jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru $S.$

System otoczeń a topologia

Jeżeli dla każdego punktu $x$ zbioru $X$ dana jest pewna rodzina $B(x)$ podzbiorów $U$ zbioru $X$ spełniająca warunki:

1. dla każdego $U\in B(x)$ mamy, że $x\in U,$
2. dla dowolnego $U\in B(x)$ istnieje takie $V\in B(x),$ że $U\in B(y)$ dla wszelkich $y\in V,$

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze $X{:}$ zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem $x$ zawiera również pewien zbiór z rodziny $B(x).$

Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatyki

Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę $(X,\tau )$ złożoną ze zbioru $X$ oraz rodziny

$\tau =\{\tau _{x}\}_{x\in X}$

zbiorów $\tau _{x},$ których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu $x$) zbioru $X$ spełniające następujące aksjomaty:

1. Każde otoczenie $x$ zawiera $x$ oraz zbiór $X$ jest otoczeniem każdego swojego punktu.
2. Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie $x$ jest także otoczeniem $x.$
3. Przecięcie dowolnej pary otoczeń $x$ jest także otoczeniem $x.$
4. W każdym otoczeniu $x$ zawarte jest takie otoczenie $x,$ które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu.

Otoczenie a sąsiedztwo

W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem jeżeli $V$ jest otoczeniem punktu $x,$ to zbiór

$V_{x}=V\setminus \{x\}$

jest sąsiedztwem punktu $x.$

Przykłady otoczeń otwartych

• Na prostej rzeczywistej $\mathbb {R}$ z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu $x$ jest np. dowolny przedział otwarty $(a,b)$ zawierający ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), tj. $a<x<b.$ Sąsiedztwem punktu $x$ jest ten przedział bez punktu $x,$ tj. $(a,b)\setminus \{x\}=(a,x)\cup (x,b).$

• Na płaszczyźnie euklidesowej $\mathbb {R} ^{2}$ otoczeniem otwartym punktu $x$ jest np. dowolne koło bez brzegu zawierające ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), zaś jego sąsiedztwem jest to koło bez tego punktu.
• W przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{3}$ otoczeniem otwartym punktu $x$ jest np. dowolna kula bez brzegu zawierająca ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku kuli), zaś jego sąsiedztwem jest kula bez tego punktu.