Otoczenie (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
 Zobacz też: Kula.

Otoczenie punktu – dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt.

Definicja otoczenia punktu[edytuj]

Zbiór na płaszczyźnie jest otoczeniem punktu jeżeli istnieje koło (bez brzegu) zawierające i zawarte w .

Niech jest elementem przestrzeni topologicznej . Zbiór jest otoczeniem punktu , gdy istnieje zbiór otwarty , dla którego

.

Innymi słowy, zbiór jest otoczeniem punktu , jeśli , gdzie oznacza wnętrze zbioru [1].

Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym - wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym, itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym, itp.

Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt.[2] W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.

Definicja otoczenia zbioru[edytuj]

Niech jest podzbiorem . Otoczeniem zbioru jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera . W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru

Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.

Otoczenia w przestrzeniach metrycznych[edytuj]

W przestrzeni metrycznej z metryką otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.

Definicja otoczenia punktu[edytuj]

jest otoczeniem punktu jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie i promieniu , tj.

,

która jest zawarta w zbiorze .

Definicja otoczenia jednostajnego zbioru[edytuj]

Zbiór na płaszczyźnie i jednostajne otoczenie zbioru .

Otoczeniem jednostajnym zbioru w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór o tej własności, że istnieje taka liczba , że dla każdego kula otwarta o środku w punkcie i promieniu , tj.

,

jest zawarta w zbiorze .

Innymi słowy, zbiór jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru .

System otoczeń a topologia[edytuj]

Jeżeli dla każdego punktu zbioru dana jest pewna rodzina podzbiorów zbioru spełniająca warunki:

  1. dla każdego mamy, że ,
  2. dla dowolnego istnieje takie , że dla wszelkich ,

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze : zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera również pewien zbiór z rodziny .

Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatyki[edytuj]

Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę złożoną ze zbioru oraz rodziny

zbiorów , których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu ) zbioru spełniające następujące aksjomaty:

  1. Każde otoczenie zawiera oraz zbiór jest otoczeniem każdego swojego punktu.
  2. Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie jest także otoczeniem .
  3. Przecięcie dowolnej pary otoczeń jest także otoczeniem .
  4. W każdym otoczeniu zawarte jest takie otoczenie , które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu[3].

Otoczenie a sąsiedztwo[edytuj]

W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem, jeżeli jest otoczeniem punktu , to zbiór

jest sąsiedztwem punktu .

Przykłady otoczeń otwartych[edytuj]

  • Na prostej rzeczywistej z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu jest np. dowolny przedział otwarty zawierający ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), tj. . Sąsiedztwem punktu jest ten przedział bez punktu , tj.
  • Na płaszczyźnie euklidesowej otoczeniem otwartym punktu jest np. dowolne koło bez brzegu zawierające ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), zaś jego sąsiedztwem jest to koło bez tego punktu.
  • W przestrzeni euklidesowej otoczeniem otwartym punktu jest np. dowolna kula bez brzegu zawierająca ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku kuli), zaś jego sąsiedztwem jest kula bez bez tego punktu.

Przypisy

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962, s. 109.
  2. W. Kołodziej, Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, str.73.
  3. Klaus Jänich: Topologia (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1991, s. 14, 15.