Otoczenie (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Information icon.svg Zobacz też: Kula.

Otoczenie punktu – w topologii oznacza dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt.

Dokładniej, jeśli x jest elementem pewnej przestrzeni topologicznej X, to zbiór VX jest otoczeniem punktu x, gdy istnieje taki zbiór otwarty UV, że xU. Innymi słowy, zbiór V jest otoczeniem punktu x, jeśli punkt ten należy do wnętrza Int V zbioru V[1].

Tak rozumiane pojęcie otoczenia punktu nie musi być zbiorem otwartym. Istotne jest tylko, by zawierało pewien zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym, itd.

Uwaga: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy pod pojęciem otoczenia punktu rozumieją wyłącznie zbiór otwarty zawierający dany punkt. W stosowanej tu terminologii otoczenie takie nazywałoby się otoczeniem otwartym.

Jeżeli S jest podzbiorem X, pod pojęciem otoczenia zbioru S rozumie się zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera S. W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru, i na odwrót.

Przestrzeń metryczna[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeni metrycznej X z metryką d otoczenie punktu można równoważnie określić następująco: V jest otoczeniem punktu p jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie p i promieniu r > 0

B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X : d(x,p) < r \}

zawarta w zbiorze V.

Otoczeniem jednostajnym zbioru S w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór V o tej własności, że istnieje taka liczba r > 0, że dla każdego pS kula otwarta

B_r(p) = \{ x \in X : d(x,p) < r \}

zawarta jest w zbiorze V. Innymi słowy, jest to zbiór będący sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru S.

System otoczeń a topologia[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dla każdego punktu x zbioru X dana jest pewna rodzina B(x) podzbiorów zbioru X spełniająca poniższe warunki:

  1. xU dla każdego UB(x),
  2. dla dowolnego UB(x) istnieje takie VB(x), że UB(y) dla wszelkich yV,

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze X. Wystarczy zdefiniować zbiór otwarty jako taki, który wraz z każdym swoim punktem x zawiera również pewien zbiór z rodziny B(x).

Aksjomatyka przestrzeni topologicznej[edytuj | edytuj kod]

Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (X, \mathfrak{U}) złożoną ze zbioru X oraz rodziny

\mathfrak{U} = \{\mathfrak{U}_x\}_{x \in X}

zbiorów \mathfrak{U}_x, których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu x) zbioru X spełniające następujące aksjomaty:

  1. Każde otoczenie x zawiera x oraz zbiór X jest otoczeniem każdego swojego punktu.
  2. Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie x jest także otoczeniem x.
  3. Przecięcie dowolnej pary otoczeń x jest także otoczeniem x.
  4. W każdym otoczeniu x zawarte jest takie otoczenie x, które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu[2].

Otoczenie a sąsiedztwo[edytuj | edytuj kod]

W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem, jeżeli V jest otoczeniem punktu x, to zbiór

 V_x = V \setminus \{ x \}

jest sąsiedztwem punktu x.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

W zbiorze liczb rzeczywistych z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu x jest dowolny taki przedział otwarty (a, b), że a < x < b. Sąsiedztwem punktu x jest wówczas zbiór

 (a,b) \setminus \{ x \} = (a,x) \cup (x,b) .

Otoczeniem otwartym punktu na płaszczyźnie euklidesowej jest koło bez brzegu o środku w tym punkcie, zaś sąsiedztwem tego punktu jest koło bez środka (czyli bez danego punktu).

Przypisy

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962, s. 109.
  2. Klaus Jänich: Topologia (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1991, s. 14, 15.