Ewolwenta

Ewolwenta okręgu

Ewolwenta (albo rozwijająca) to krzywa, którą kreśli punkt leżący na prostej toczącej się po innej krzywej. Krzywa po której toczy się owa prosta nazywana jest w tym kontekście ewolutą.

Innymi słowy normalna wystawiona w dowolnym punkcie $A$ ewolwenty jest zawsze styczna do ewoluty, przy czym punkt styczności jest środkiem krzywizny ewolwenty w punkcie $A$. Odcinek normalnej łączący punkt $A$ z ewolutą jest promieniem wodzącym ewolwenty. Przyrost długości promienia wodzącego między dwoma punktami $A$ i $B$ jest równy odległości, pomiędzy środkami krzywizny dla tych punktów, liczonej wzdłuż ewoluty.

Najprostszym przybliżeniem ewolwenty jest rysowanie spirali za pomocą ołówka zamocowanego na sznurku: należy obwiązać sznurkiem krążek, który następnie przymocowujemy do kartki papieru; wolny koniec sznurka przyczepiamy do ołówka po czym zaczynamy kreślić nim linię w taki sposób, aby rozwijający się sznurek był cały czas napięty. Kształt uzyskany tym sposobem jest fragmentem ewolwenty okręgu, sam okrąg zaś stanowi ewolutę otrzymanej spirali.

W punktach przecięcia którejkolwiek ewolwenty z ewolutą ewolwenta ma punkt zwrotu.

Ewolwenta ma bardzo duże zastosowanie w technice, a zwłaszcza w mechanice: np. zęby większości kół zębatych mają zarys ewolwentowy.

Ewolwentę okręgu o promieniu $a$ możemy opisać równaniem:

$x=a\cdot {\begin{pmatrix}\cos t+t\cdot \sin t\end{pmatrix}}-C\cdot \sin t$

$y=a\cdot {\begin{pmatrix}\sin t-t\cdot \cos t\end{pmatrix}}+C\cdot \cos t$

gdzie:

$t$ - kąt odwinięcia

$C$ - stała (na rysunku $C=0$)