Grupa Lorentza

Zachowanie odległości (izometria) w czasoprzestrzeni Minkowskiego narzuca warunki

$g_{\mu \nu }\Lambda _{\rho }^{\mu }\Lambda _{\tau }^{\nu }=g_{\rho \tau }.$

W tradycyjnym zapisie macierzowym warunek ten ma postać

$\Lambda ^{T}g\Lambda =g$

gdzie macierz g=diag(1,-1,-1,-1) jest macierzą diagonalną o sygnaturze (+,-,-,-). Gdy ograniczymy się tylko do podprzestrzeni 3 - wymiarowej (g -> -I) czasoprzestrzeni, warunek ten definiuje transformacje ortogonalne grupy O(3) (grupa obrotów w przestrzeni 3 - wymiarowej). Macierze Λ nazywamy macierzami Lorentza. Tworzą one grupę Lorentza z mnożeniem grupowym zdefiniowanym jako mnożenie macierzy. Grupa Lorentza jest podgrupą szerszej grupy grupę Poincarégo:

$x^{\mu }\rightarrow {x'}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu }.$

W zbiorze transformacji Lorentza istnieje transformacja jednostkowa (Λ=I), transformacja odwrotna i składanie transformacji Lorentza też jest transformacją Lorentza.

Właściwe transformacje Lorentza otrzymujemy, gdy ograniczymy się do transfomacji mieszających czas np. z jedną składową przestrzenną (w kierunku ruchu układu współrzędnych względem siebie, np. wzdłuż osi $x^{1}$). Wtedy macierz g=diag(1,-1) i warunek na transformacje Lorentza definiuje grupę obrotów hiperbolicznych O(1,1). Macierz ma prostą 2 - wymiarową postać

$\Lambda ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$

Warunek definujący macierze Lorentza daje związki

$a^{2}-c^{2}=1$

$ab=cd$

$d^{2}-b^{2}=1$

Z dokładnością do znaku, najprostsze rozwiązanie ma postać macierzy obrotu hiperbolicznego

$\Lambda ={\begin{pmatrix}ch(\varphi )&sh(\varphi )\\sh(\varphi )&ch(\varphi )\end{pmatrix}},$

ponieważ funkcje te spełniają warunek $ch^{2}(\varphi )-sh^{2}(\varphi )=1$. $\varphi$ jest ciągłym parametrem. Macierze te podobnie jak macierze ortogonalne grupy SO(2) tworzą grupę SO(1,1). Transformacje Larentza można teraz zapisać jako

${\begin{pmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}x'^{0}\\x'^{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ch(\varphi )&sh(\varphi )\\sh(\varphi )&ch(\varphi )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{pmatrix}}$

Parametr $\varphi$ może być zamieniony na bardziej fizyczny

$th(\varphi )={\frac {v}{c}}$

opisujący względny ruch obu układów współrzędnych. Daję (po przekształceniach) to jawną postać transformacji Lorentza

$t\rightarrow t'={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}(t+{\frac {v}{c^{2}}}x^{1}),$ $x^{1}\rightarrow x'^{1}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}(x^{1}+vt).$

Transformacja ta prowadzi do odpowiednich praw składania prędkości (innych niż dla transformacji Galileusza). Definiując

$u={\frac {dx^{1}}{dt}}$ i $u'={\frac {dx'^{1}}{dt'}}$ otrzymujemy

$u'={\frac {u+v}{(1+{\frac {vu}{c^{2}}})}}.$

Z tego prawa dodawania prędkości wynika, że gdy w jednym układzie ciało porusza się z prędkościa u=c to w drugim układzie poruszającym się z prędkoscią v ciało nadal poruszać się będzie z prędkością c.

Ogólnie grupa Lorentza parametryzowana jest przez 6 niezależnych parametrów. Trzy parametry związane są z grupa obrotów gdzie istnieją trzy niezależne generatory ($T_{i}$ i=1,2,3). Trzy następne parametry związane są z właściwymi transformacjami Lorentza. Tak na przykład, pełna transformacja Lorentza wzdłuż pierwszej osi ma postać

${\begin{pmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}x'^{0}\\x'^{1}\\x'^{2}\\x'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ch(\varphi )&sh(\varphi )&0&0\\sh(\varphi )&ch(\varphi )&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{pmatrix}}$

generowana jest $\Lambda =e^{iK_{1}\varphi }$ przez generator

$K_{1}={\begin{pmatrix}0&-i&0&0\\-i&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Takich generatorów jest też trzy ($K_{i}$ i=1,2,3). Z 6 tych generatorów (T i K) zbudować można antysymetryczną macierz generatorów $M_{\mu \nu }$ tak, że

$M_{0,i}=K_{i},$

$T^{i}=\sum _{i,j}\epsilon _{i,j,k}M_{i,j}.$

Generatory grupy Lorentza, będące algebrą Liego tej grupy spełniają związki

• $[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }$

gdzie $M_{\mu \nu }$ jest infinitezymalnym generatorem transformacji Lorentza.