Grupa obrotów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa obrotów SO(n) - to grupa macierzy tworzona przez macierze obrotu w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Grupa ortogonalna O(n)[edytuj]

Rozważmy przekształcenie ortogonalne w przestrzeni wektorowej, tj. przekształcenie, które zachowuje długości wektorów. Niech oznacza Macierz tego przekształcenia. Z własności przekształceń ortogonalnych wynika, że macierz odwrotna macierzy obrotu jest jej macierzą transponowaną, czyli.

W zbiorze macierzy ortogonalnych O(n) są słuszne następujące własności:

  • iloczyn dowolnych macierzy ortogonalnych i jest macierzą ortogonalną ,
  • istnieje element neutralny , który też jest macierzą ortogonalną, tj. ,
  • dla każdej macierzy ortogonalnej istnieje macierz odwrotna, gdyż .

Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy więc grupę.

Grupa obrotów SO(n)[edytuj]

Jeżeli spełniony jest dodatkowo warunek, że wyznacznik macierzy obrotu jest równy +1, to grupę nazywa się specjalną grupą obrotu SO(n). Grupa ta jest podgrupą grupy O(n).

Grupa obrotów SO(3)[edytuj]

W przestrzeni euklidesowej 3-wymiarowej mamy grupę obrotów SO(3), które jest podgrupą grupy O(3).

Grupa obrotów SO(3) jest grupą ciągłą. Element grupy SO(3) można parametryzować w sposób ciągły przez trzy parametry wektor , oś obrotu i kąt obrotu ψ (przy czym , , , ), tj.

,

gdzie trzy macierze - zwane generatorami grupy obrotów - mają postać:

Generatory spełniają regułę komutacji:

,

gdzie ε oznacza tzw. symbol antysymetryczny:

  • ε = 1, gdy a b c jest parzystą permutacją liczb 1 2 3,
  • ε = -1, gdy a b c jest nieparzystą permutacją liczb 1 2 3,
  • ε = 0, gdy dwa lub trzy wskaźniki są takie same.

Algebra Liego grupy SO(n)[edytuj]

Generatory grupy SO(n) rozpinają algebrę liniową so(n) z mnożeniem zdefiniowanym jako komutator (komutator). Algebra ta nosi nazwę algebry Liego.

Grupy obrotu a operatory mechaniki kwantowej[edytuj]

  • Bardzo podobne reguły komutacyjne jak generatory grupy obrotu SO(3) spełnia operator momentu pędu mechaniki kwantowej (z dokładnością do stałej Plancka ). Operator ten jest reprezentacją algebry so(3) w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem . Z własności tej algebry (i własności grupy SO(3) ) wynika niemożność jednoczesnego pomiaru wszystkich składowych momentu pędu (odpowiada temu zasada nieoznaczoności w wersji dotyczącej pomiaru momentu pędu układu kwantowego).
  • Identyczne reguły komutacyjne spełnia też operator spinu. Dlatego także nie jest możliwy jednoczesny pomiaru wszystkich składowych spinu.

Zobacz też[edytuj]