Grupa obrotów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa obrotów SO(n) - to grupa macierzy tworzona przez macierze obrotu w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Grupa ortogonalna O(n)[edytuj]

Rozważmy przekształcenie ortogonalne w przestrzeni wektorowej, tj. przekształcenie, które zachowuje długości wektorów. Niech R oznacza Macierz tego przekształcenia. Z własności przekształceń ortogonalnych wynika, że macierz odwrotna macierzy obrotu jest jej macierzą transponowaną, czyliR^{-1}=R^{T}.

W zbiorze macierzy ortogonalnych O(n) są słuszne następujące własności:

  • iloczyn dowolnych macierzy ortogonalnych R i S jest macierzą ortogonalną U = R S ,
  • istnieje element neutralny , który też jest macierzą ortogonalną, tj.R=I ,
  • dla każdej macierzy ortogonalnej istnieje macierz odwrotna, gdyż R^{-1}=R^{T}.

Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy więc grupę.

Grupa obrotów SO(n)[edytuj]

Jeżeli spełniony jest dodatkowo warunek, że wyznacznik macierzy obrotu jest równy +1, to grupę nazywa się specjalną grupą obrotu SO(n). Grupa ta jest podgrupą grupy O(n).

Grupa obrotów SO(3)[edytuj]

W przestrzeni euklidesowej 3-wymiarowej mamy grupę obrotów SO(3), które jest podgrupą grupy O(3).

Grupa obrotów SO(3) jest grupą ciągłą. Element R grupy SO(3) można parametryzować w sposób ciągły przez trzy parametry wektor \alpha, oś obrotu \omega i kąt obrotu ψ (przy czym \alpha^i=\omega^i \psi , \omega^1=\sin(\theta) \sin(\phi), \omega^2=\sin(\theta) \cos(\phi), \omega^3=\cos(\theta)), tj.

R=exp\,[\,{i\sum_{a=1}^{3}T^a \,\alpha^a}\,],

gdzie trzy macierze T^a - zwane generatorami grupy obrotów - mają postać:

T^1=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix},\ T^2=\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{bmatrix}, \ T^3=\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}

Generatory spełniają regułę komutacji:

 [ T^a, T^b ] =i \sum_c \epsilon_{a b c}T^c ,

gdzie ε oznacza tzw. symbol antysymetryczny:

  • ε = 1, gdy a b c jest parzystą permutacją liczb 1 2 3,
  • ε = -1, gdy a b c jest nieparzystą permutacją liczb 1 2 3,
  • ε = 0, gdy dwa lub trzy wskaźniki są takie same.

Algebra Liego grupy SO(n)[edytuj]

Generatory grupy SO(n) rozpinają algebrę liniową so(n) z mnożeniem zdefiniowanym jako komutator  A\times B =[A B - B A]  (komutator). Algebra ta nosi nazwę algebry Liego.

Grupy obrotu a operatory mechaniki kwantowej[edytuj]

Zobacz też[edytuj]