Grupa Lorentza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Grupa Lorentza – grupa transformacji układu współrzędnych 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego, takich że interwały czasoprzestrzenne nie ulegają zmianie, przy czym początek układu współrzędnych pozostaje bez zmian.

Transformacje Lorentza są więc izometriami w 4-wymiarowej przestrzeni, która jest przestrzenią pseudoeuklidesową, oraz stanowi podgrupę grupy Poincarégo (ta ostatnia dopuszcza także translacje początku układu współrzędnych).

Fundamentalne równania fizyki wykazują symetrię Lorentza, np.:

Symetria ta oznacza, że dokonując transformacji Lorentza z danego układu współrzędnych do innego, otrzyma się prawa fizyki wyrażone przez inne zmienne, ale postać algebraiczna tych praw pozostanie bez zmian; realizacja transformacji polega na zastąpieniu zmiennych w równaniach opisujących prawa fizyki przez zmienne takie że

gdzie – macierz transformacji Lorentza (patrz niżej).

Doniosłą rolę symetrii grupy Lorentza odkrył Einstein: formułując szczególną teorię względności, zapostulował, iż teorie fizyczne opisujące prawa przyrody powinny posiadać symetrię Lorentza i podał to jako warunek do konstruowania teorii fizycznych.

Powyżej wymienione teorie zakładają płaską czasoprzestrzeń, tj. opisaną diagonalnym tensorem metrycznym (patrz niżej). Dalszy rozwój teorii doprowadził do odkrycia ogólniejszych symetrii w ogólnej teorii względności oraz w kwantowej teorii pola. Np. w ogólnej teorii względności symetria Lorentza pozostała jedynie symetrią lokalną, tj. obowiązuje w na tyle małych obszarach, że można pominąć w nich zmianę pola grawitacyjnego.

Nazwa grupy pochodzi od holenderskiego fizyka Hendrika Lorentza.

Macierze transformacji Lorentza[edytuj | edytuj kod]

Transformacje układów współrzędnych należące do transformacji Lorentza muszą spełniać warunki:

(1) Nie mogą deformować czasoprzestrzeni, co oznacza, że dopuszczalne są przekształcenia w ramach płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego, której tensor metryczny jest macierzą diagonalną

taką samą dla każdego punktu czasoprzestrzeni. Warunek ten jest równoważny założeniu, że odległość czasoprzestrzenną dwóch zdarzeń liczy się w każdym układzie inercjalnym według tej samej zasady: od kwadratów różniczek czasowych odejmuje się kwadraty różniczek przestrzennych.

Uwaga: Składowe kowariantne tensora metrycznego są identyczne jak składowe kontrawariantne, tj.

(2) Zachowują odległości w czasoprzestrzeni.

Tensor metryczny transformuje się przy przejściu do nowego układu współrzędnych zgodnie z prawami transformacji tensorów

Wymaganie, by tensor ten nie zmienił się oznacza, że

co implikuje warunek

Z powyższego wzoru wynika, że wyznacznik macierzy transformacji wynosi lub gdyż wyznacznik lewej strony wynosi det g= -1, a wyznacznik prawej strony jest iloczynem (det g) (det L) (det L), stąd mamy

Macierze spełniające powyższe warunki nazywa się macierzami Lorentza. Można pokazać, że macierz transformacji spełnia warunek

Oznacza to, że macierz Lorentza jest macierzą pseudoortogonalną.

Założenie, że tensor metryczny nie zależy od współrzędnych przestrzennych oznacza, że zakłada się płaską czasoprzestrzeń (czasoprzestrzeń Minkowskiego), opisywaną przez szczególną teorię względności, a pomija efekty jej zakrzywienia w wyniku grawitacji (wtedy tensor metryczny miałby składowe zależne od współrzędnych, np. rozwiązanie Schwarzschilda).

Transformacje Lorentza tworzą grupę[edytuj | edytuj kod]

Macierze transformacji Lorentza tworzą grupę macierzy zwaną grupą Lorentza, gdyż:

(a) działanie grupowe – polegające na sukcesywnym składaniu dwu lub większej liczby transformacji – daje w wyniku także jakąś transformację Lorentza

(a′) macierz transformacji będącej złożeniem kilku transformacji jest iloczynem macierzy odpowiadających tym transformacjom, np.

(b) w zbiorze transformacji Lorentza istnieje transformacja jednostkowa, zadana macierzą jednostkową

transformacja ta oznacza pozostanie w tym samym układzie współrzędnych,

(c) do każdej transformacji istnieje transformacja odwrotna[1], np.

  • dla obrotów w przestrzeni jest to obrót w przeciwną stroną o ten sam kąt,
  • dla przejść do układu odniesienie poruszającego się np. z prędkością transformacja odwrotna oznacza przejście do układu poruszającego się z prędkością przeciwną

Rodzaje transformacji Lorentza[edytuj | edytuj kod]

Transformacje Lorentza obejmują[2]

  • obroty w przestrzeni,
  • odbicia przestrzenne (inwersje),
  • odwrócenie czasu,
  • właściwe transformacje Lorentza.

Obroty w przestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Gdy ograniczy się do transformacji Lorentza, w których zmieniają się tylko trzy współrzędne przestrzenne, a nie zmienia się czas, to otrzyma się warunek, iż dopuszczalne są w ramach grupy Lorentza tylko obroty w przestrzeni – transformacje te tworzą grupę obrotów ortogonalnych przestrzeni – wymiarowej, przy czym grupa ta zwiera obroty właściwe oraz inwersje (odbicia osi układu współrzędnych – patrz niżej). Grupa jest podgrupę grupy transformacji Lorentza. Macierz obrotów nie zmienia współrzędnej czasowej, stąd ma postać

Obroty bez inwersji – tzw. obroty właściwe – tworzą grupę specjalnych macierzy ortogonalnych Obroty właściwe mają wyznacznik równy

Odbicia przestrzenne (inwersje)[edytuj | edytuj kod]

Odbicia przestrzenne należą do dyskretnych transformacji i polegają na odwróceniu osi układu współrzędnych. Macierz transformacji ma postać

Wyznacznik tej transformacji wynosi

Odwrócenie czasu[edytuj | edytuj kod]

Odwrócenie czasu należy do dyskretnych transformacji i polegają na odwróceniu osi układu współrzędnych. Macierz transformacji ma postać

Wyznacznik tej transformacji wynosi

Uwaga: Symetria „odwrócenia czasu” jest własnością „geometryczną” czasoprzestrzeni: gdy czas potraktuje się jako jeden z wymiarów czasoprzestrzeni, to wykazuje ona ww. symetrię.

Ortogonalność 4-wektorów. Macierze pseudoortogonalne[edytuj | edytuj kod]

Czasoprzestrzeń jest przestrzenią pseudoeuklidesową, gdyż niezmiennicza odległość pomiędzy punktami czasoprzestrzeni dana jest nie jako sumę kwadratów różnic współrzędnych, ale dana jest wzorem

Wynika stąd na przykład, że iloczyn skalarny dwóch czterowektorów oblicza się ze wzoru

Dwa 4-wektory nazywa się ortogonalnymi, jeżeli zeruje się ich iloczyn skalarny. Przekształcenie liniowe przestrzeni pseudoeuklidesowej zachowujące iloczyn skalarny nazywa się pseudoortogonalnym – jest to rozszerzenie pojęcia przekształceń ortogonalnych znanego z przestrzeni euklidesowych. Macierz takiego przekształcenia jest w ogólnym przypadku macierzą pseudoortogonalną, tj. taką że

gdzie – tensor metryczny czasoprzestrzeni.

Właściwe transformacje Lorentza[edytuj | edytuj kod]

Właściwe transformacje Lorentza otrzymuje się, gdy ograniczy się do transformacji mieszających czas z jedną składową przestrzenną, a pominie obroty układu w przestrzeni, inwersje oraz odwrócenie czasu. Sytuacja taka zachodzi, gdy dokonujemy transformacji do układu poruszającego się względem danego układu. Np. dla ruchu w kierunku osi macierz transformacji ma postać

gdzie współczynniki są stałymi liczbami. Powyższa macierz jest macierzą przekształcenia liniowego współrzędnych czasowej i przestrzennej na współrzędne w układzie poruszającym się, przy pozostałych współrzędnych pozostawionych bez zmian

Macierz pseudoortogonalna właściwych transformacji Lorentza[edytuj | edytuj kod]

Warunek niezmienności interwału definiuje grupę obrotów hiperbolicznych której elementy są reprezentowane za pomocą macierzy pseudoortogonalnych. Aby wykazać, że własność tę posiadają macierze właściwych transformacji Lorentza ograniczmy macierz transformacji do macierzy x

przy czym pierwsza kolumna odpowiada za transformacje współrzędnej czasowej, a druga odpowiada za transformacje współrzędnej. Niezmienność interwału implikuje, że muszą zachodzić warunki

Z dokładnością do znaku rozwiązanie powyższego układu równań ma postać

Łatwo to sprawdzić, wiedząc, że dla funkcji hiperbolicznych słuszna jest tożsamość

Powyższą macierz transformacji nazywa się macierzą obrotu hiperbolicznego – określa ją jeden ciągły parametr który pełni rolę kąta obrotu analogiczną do roli parametrów określających zwykły obrót w płaszczyźnie. Macierze tego typu tworzą grupę (zaś macierze obrotu w przestrzeni tworzą grupę macierzy ortogonalnych ).

Można łatwo sprawdzić, że powyższa macierz spełnia warunek

a więc jest to macierz pseudoortogonalna. Nie jest to jednak macierz ortogonalna, gdyż

Parametryzacja transformacji Lorentza[edytuj | edytuj kod]

Transformację Lorentza można teraz zapisać jako

Parametr jest związany ze współrzędną prędkości drugiego układu O′ względem układu początkowego O zależnością

Powyższa parametryzacja jest poprawna, gdyż tangens hiperboliczny ma wartości

co odpowiada warunkowi,

– zgodnie z tym, że prędkość jest zawsze mniejsza niż prędkość światła. Wyrażając przez otrzyma się jawną postać tej transformacji Lorentza dla ruchu układu w kierunku osi

przy czym

Łatwo sprawdzić, że wyznacznik powyższej transformacji wynosi To samo dotyczy wszystkich właściwych transformacji Lorentza.

Uwaga: Parametr dlatego grupa Lorentza nie jest zwarta ze względu na pchnięcia Lorentza – macierze odpowiadające tym transformacjom, są symetryczne (tak jest dla obrotów hiperbolicznych – zwykłe obroty są reprezentowane przez macierze ortogonalne).

Generatory macierzy transformacji Lorentza[edytuj | edytuj kod]

Definicja generatora[edytuj | edytuj kod]

Generator związany z daną macierzą zależną od parametru definiuje się jako pochodną po tym parametrze, obliczoną dla

gdzie – dowolna liczba zespolona (liczbę przyjmuje się tak, by inne wzory teorii miały wygodną postać). Generator jest macierzą. Macierz wyraża się za pomocą eksponenty generatora z odpowiednim współczynnikiem, tj.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Dla macierzy

przyjmuje się postać generatora

Ponieważ

to otrzymuje się

Wtedy

Uwaga: Liczby zespolone w definicji generatorów przyjęto dla uproszenia innych wzorów teorii. Z powyższego przykładu widać, że np. generator mnożony przez daje macierz rzeczywistą w wykładniku wzoru Analogicznie jest dla innych generatorów, które omówiono poniżej. Powinno tak być, gdyż macierze transformacji Lorentza są macierzami o współrzędnych rzeczywistych, a taką macierz można otrzymać jedynie z eksponenty macierzy rzeczywistej.

Parametry grupy Lorentza. Generatory[edytuj | edytuj kod]

Grupa transformacji Lorentza parametryzowana jest przez 6 niezależnych parametrów, które omówiono poniżej.

Generatory obrotów w przestrzeni[edytuj | edytuj kod]

(a) Trzy parametry związane są z obrotami w przestrzeni, którym odpowiadają trzy niezależny generatory obrotów wokół osi (por. grupa obrotów)

Generatory te mają postacie:

(b) Macierz dowolnego obrotu w przestrzeni 3D – wokół osi przechodzącej przez punkt początkowy układu współrzędnych i zadanej wektorem wyraża się za pomocą tych generatorów wzorem

gdzie:

– wektor, utworzony z generatorów obrotu.

Wykładnik eksponenty jest rzeczywistą macierzą antysymetryczną (czynnik mnożony przez czynnik występujący w generatorach daje 1) – zgodnie z ogólnym twierdzeniem generuje on macierz ortogonalną. Macierz ta jest wiec faktycznie macierzą obrotu w 3-wymiarowej podprzestrzeni przestrzeni Minkowskiego.

Generatory pchnięć Lorentza[edytuj | edytuj kod]

Trzy parametry związane są z trzema generatorami właściwych transformacji Lorentza

odpowiadających przejściom do układów współrzędnych poruszających się względem danego układu z prędkościami skierowanymi wzdłuż osi

(a) Np. właściwa transformacja Lorentza wzdłuż osi ma postać

Macierz tej transformacji można przedstawić w postaci

gdzie:

jest generatorem tej macierzy.

(b) Analogicznie mamy dla przejść do układów poruszających się wzdłuż osi oraz

(c) Ogólną macierz transformacji Lorentza związaną z przejściem do innego układu inercjalnego, poruszającego się w kierunku wskazanym za pomocą wektora wyraża się wzorem

gdzie:

– wektor, utworzony z generatorów pchnięć Lorentza.

Wykładnik eksponenty jest rzeczywistą macierzą symetryczną – zgodnie z ogólnym twierdzeniem generuje on macierz w ogólności pseudoortogonalną. Macierz ta jest wiec macierzą obrotu w przestrzeni Minkowskiego.

Ogólna macierz transformacji[edytuj | edytuj kod]

Ogólną transformację, złożoną z obrotów układu współrzędnych w przestrzeni oraz pchnięć Lorentza, definiuje wyrażenie

Macierz generatorów [edytuj | edytuj kod]

(a) Z sześciu generatorów grupy (trzech i trzech ) można zbudować antysymetryczną macierz generatorów przyjmując:

(b) Twierdzenie:

Generatory Lorentza tworzą algebrę Liego grupy transformacji Lorentza o komutatorze[3]

gdzie

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Grupy transformacji fizycznych

Pojęcia matematyczne

Pojęcia ogólne fizyki

Uczeni

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • G. Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, s. 50–66, 139–154.
  • Padmanabhan T., Quantum Field Theory: The Why, What and How, Springer, Heidelberg 2016, str. 201-206 (książka dostępna on line tutaj) .