Grupa Lorentza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zachowanie odległości (izometria) w czasoprzestrzeni Minkowskiego narzuca warunki

W tradycyjnym zapisie macierzowym warunek ten ma postać

gdzie macierz g=diag(1,-1,-1,-1) jest macierzą diagonalną o sygnaturze (+,-,-,-). Gdy ograniczymy się tylko do podprzestrzeni 3 - wymiarowej (g → -I) czasoprzestrzeni, warunek ten definiuje transformacje ortogonalne grupy O(3) (grupa obrotów w przestrzeni 3 - wymiarowej). Macierze Λ nazywamy macierzami Lorentza. Tworzą one grupę Lorentza z mnożeniem grupowym zdefiniowanym jako mnożenie macierzy. Grupa Lorentza jest podgrupą grupy Poincarégo:

W zbiorze transformacji Lorentza istnieje transformacja jednostkowa (Λ=I), transformacja odwrotna i składanie transformacji Lorentza też jest transformacją Lorentza.

Właściwe transformacje Lorentza otrzymujemy, gdy ograniczymy się do transfomacji mieszających czas np. z jedną składową przestrzenną (w kierunku ruchu układu współrzędnych względem siebie, np. wzdłuż osi ). Wtedy macierz g=diag(1,-1) i warunek na transformacje Lorentza definiuje grupę obrotów hiperbolicznych O(1,1). Macierz ma prostą 2 - wymiarową postać

Warunek definujący macierze Lorentza daje związki

Z dokładnością do znaku, najprostsze rozwiązanie ma postać macierzy obrotu hiperbolicznego

ponieważ funkcje te spełniają warunek . jest ciągłym parametrem. Macierze te podobnie jak macierze ortogonalne grupy SO(2) tworzą grupę SO(1,1). Transformacje Larentza można teraz zapisać jako

Parametr może być zamieniony na bardziej fizyczny

opisujący względny ruch obu układów współrzędnych. Daje to (po przekształceniach) jawną postać transformacji Lorentza

Transformacja ta prowadzi do odpowiednich praw składania prędkości (innych niż dla transformacji Galileusza). Definiując

i otrzymujemy

Z tego prawa dodawania prędkości wynika, że gdy w jednym układzie ciało porusza się z prędkością u=c to w drugim układzie, poruszającym się z prędkością v względem pierwszego, ciało także poruszać się będzie z prędkością c.

Ogólnie grupa Lorentza parametryzowana jest przez 6 niezależnych parametrów. Trzy parametry związane są z grupa obrotów gdzie istnieją trzy niezależne generatory ( i=1,2,3). Trzy następne parametry związane są z właściwymi transformacjami Lorentza. Tak na przykład, pełna transformacja Lorentza wzdłuż pierwszej osi ma postać

generowana jest przez generator

Takie generatory też są trzy ( i=1,2,3). Z tych sześciu generatorów (trzech T i trzech K) zbudować można antysymetryczną macierz generatorów tak, że

Generatory grupy Lorentza, będące algebrą Liego tej grupy, spełniają związki

gdzie jest infinitezymalnym generatorem transformacji Lorentza.

Zobacz też[edytuj]