Grupa Lorentza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Sr1.svg
Zasada względności
Prędkość światła w próżni
Transformacja Lorentza

Grupa Lorentza to grupa transformacji układów współrzędnych 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego, takich że interwały czasoprzestrzenne nie ulegają zmianie, przy czym początek układu współrzędnych pozostaje bez zmian.

Transformacje Lorentza są więc izometriami w 4-wymiarowej przestrzeni, która jest przestrzenią pseudoeuklidesową, oraz stanowią podgrupę grupy Poincarégo (ta ostatnia dopuszcza także translacje początku układu współrzędnych).

Macierze transformacji Lorentza[edytuj | edytuj kod]

Transformacje współrzędnych należące do transformacji Lorentza muszą spełniać warunki:

(1) Nie mogą deformować czasoprzestrzeni, co oznacza, że dopuszczalne są przekształcenia w ramach płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego, której tensor metryczny jest macierzą diagonalną

Składowe kontrawariantne tensora metrycznego są dla takiego tensora identyczne, tj.

(2) Zachowują odległości w czasoprzestrzeni

Powyższe warunki implikują, iż każda dopuszczalna macierz transformacji Lorentza musi spełniać warunki

(1) pozostawia niezmieniony tensor metryczny: tensor metryczny transformuje się przy przejściu do nowego układu współrzędnych zgodnie z prawami transformacji tensorów

a) Wymaganie, by tensor ten nie zmienił się oznacza, że

co implikuje warunek

W tradycyjnym zapisie macierzowym warunek ten ma postać

(2) Drugi warunek implikuje, iż wyznacznik macierzy wynosi lub tj.

Macierze spełniające powyższe warunki nazywa się macierzami Lorentza.

Założenie, że tensor metryczny ma współrzedne niezależne od współrzędnych przestrzennych oznacza, że zakłada się płaską czasoprzestrzeń (czasoprzestrzeń Minkowskiego), opisywaną przez szczególną teorię względności, a pomija efekty jej zakrzywienia w wyniku grawitacji (wtedy tensor metryczny miałby składowe zależne od współrzędnych, np. rozwiązanie Schwarzschilda).

Transformacje Lorentza tworzą grupę[edytuj | edytuj kod]

Macierze transformacji Lorentza tworzą grupę macierzy zwaną grupą Lorentza, gdyż spełniają wymagania definicji grupy:

(a) mnożenie grupowe zdefiniowane jest jako mnożenie macierzy

(b) w zbiorze transformacji Lorentza istnieje transformacja jednostkowa, zadana macierzą jednostkową , która oznacza przejście do tego samego układu

(c) do każdej transformacji istnieje transformacja odwrotna[1]

- dla obrotów jest to obrót w przeciwną stroną o ten sam kąt

- dla przejść do układu odniesienie poruszającego się np. z prędkością transformacja odwrotna oznacza przejście do układu poruszającego się z prędkością przeciwną

(d) składanie dowolnych transformacji Lorentza też jest transformacją Lorentza[1], przy czym macierz transformacji złożonej z kilku różnych transformacji jest iloczynem macierzy odpowiadających tym transformacjom, np.

Rodzaje transformacji Lorentza[edytuj | edytuj kod]

Transformacje Lorentza obejmują[2]

  • obroty w przestrzeni
  • odbicia przestrzenne (inwersje)
  • odwrócenie czasu
  • właściwe transformacje Lorentza

Obroty w przestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Gdy ograniczy się do transformacji, w których zmieniają się tylko trzy współrzędne przestrzenne, a nie zmienia się czas, to otrzyma się warunek, iż dopuszczalne są w ramach grupy Lorentza tylko ortogonalne obroty przestrzenne - transformacje te tworzą grupę obrotów ortogonalnych przestrzeni - wymiarowej, przy czym grupa ta zwiera obroty właściwe oraz inwersje (odbicia osi układu współrzędnych - patrz niżej). Grupa jest podgrupę grupy transformacji Lorentza. Macierz obrotów nie zmienia współrzędnej czasowej, stąd ma postać

Obroty bez inwersji - tzw. obroty właściwe - tworzą grupę specjalnych macierzy ortogonalnych . Obroty właściwe mają wyznacznik równy .

Odbicia przestrzenne (inwersje)[edytuj | edytuj kod]

Odbicia przestrzenne należą do dyskretnych transformacji i polegają na odwróceniu osi układu współrzędnych. Macierz transformacji ma postać

Wyznacznik tej transformacji wynosi .

Odwrócenie czasu[edytuj | edytuj kod]

Odwrócenie czasu należy do dyskretnych transformacji i polegają na odwróceniu osi układu współrzędnych. Macierz transformacji ma postać

Wyznacznik tej transformacji wynosi .

Właściwe transformacje Lorentza[edytuj | edytuj kod]

Właściwe transformacje Lorentza otrzymuje się, gdy ograniczy się do transformacji mieszających czas np. z jedną składową przestrzenną (tą, której odpowiada kierunek ruchu układu, np. wzdłuż osi ), a pominie obroty układu w przestrzeni, inwersje oraz odwrócenie czasu.

Np. przejście do układu poruszającego się względem danego układu z prędkością w kierunku osi przedstawia macierz postaci

Warunek niezmienności interwału definiuje grupę obrotów hiperbolicznych . Aby to wykazać ograniczmy macierz transformacji do macierzy x

Niezmienność interwału implikuje, że muszą zachodzić warunki

, ,

Z dokładnością do znaku najprostsze rozwiązanie ma postać

ponieważ dla funkcji hiperbolicznych słuszna jest tożsamość

Macierz transformacji jest więc tu macierzą obrotu hiperbolicznego z ciągłym parametrem . Macierze tego typu tworzą grupę (analogicznie jak macierze ortogonalne obrotu tworzą grupę ) . Transformacje Lorentza można teraz zapisać jako

Parametr może być zamieniony na bardziej fizyczny

opisujący względny ruch obu układów współrzędnych.

Wyrażając przez po przekształceniach otrzyma się jawną postać tej transformacji Lorentza

Wyznacznik właściwych transformacji Lorentza wynosi .

Dodawanie prędkości[edytuj | edytuj kod]

Transformacja powyższa prowadzi do prawa składania prędkości innego niż transformacja Galileusza:

gdzie

- prędkość ciała względem układu O
- prędkość tego samego ciała względem układu O'
- prędkość układu O' względem układu O

Wzór ten dla małych prędkości układów odniesienia O oraz O' sprowadza się do klasycznego prawa składania prędkości (wynikającego z transformacji Galileusza):

Jednocześnie z wzoru tego wynika, że jeżeli rozważanym obiektem jest światło, które ma w jednym układzie prędkość , to w układzie O' poruszającym prędkość światła będzie wynosić czyli tyle samo, co w układzie O; de facto jest to zgodne z postulatem Einsteina, iż prędkość światła jest stała względem dowolnego inercjalnego układu odniesienia.

Parametry grupy Lorentza. Generatory[edytuj | edytuj kod]

(1) Grupa transformacji Lorentza parametryzowana jest przez 6 niezależnych parametrów:

(a) trzy parametry związane są z grupa obrotów, odpowiadające trzem niezależnym generatorom obrotów

(b) trzy parametry związane są z właściwymi transformacjami Lorentza odpowiadające trzem niezależnym generatorom transformacji Lorentza

Np. właściwa transformacja Lorentza wzdłuż osi ma postać

Macierz tej transformacji można przedstawić w postaci

gdzie

jest generatorem tej macierzy.

(2) Z sześciu generatorów grupy (trzech i trzech ) można zbudować antysymetryczną macierz generatorów przyjmując:

(3) Twierdzenie:

Generatory Lorentza tworzą algebrę Liego grupy transformacji Lorentza o komutatorze

gdzie

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Białkowski 1975 ↓, s. 62.
  2. Białkowski 1975 ↓, s. 59-61.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Inne

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • G. Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975, str. 50-66, 139-154.