Czasoprzestrzeń Minkowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Szczególna teoria względności
Sr1.svg
Zasada względności
Prędkość światła w próżni
Transformacja Lorentza

Czasoprzestrzeń Minkowskiegoprzestrzeń liniowa, na której zdefiniowano iloczyn skalarny (dokładniej: pseudoskalarny), rozważana w fizyce i matematyce. Przestrzeń ta traktuje czas jako jeden z wymiarów czterowymiarowej przestrzeni, w którą włącza także trzy wymiary trójwymiarowej przestrzeni fizycznej. Z punktu widzenia geometrii czasoprzestrzeń Minkowskiego jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoeuklidesową, w której nie są spełnione prawa geometrii euklidesowej.

Powstały stąd formalizm matematyczny umożliwia zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina w sposób jawnie relatywistycznie niezmienniczy, niezależny od wyboru inercjalnego układu współrzędnych (dokładniej omówiono to niżej).

Nazwę czasoprzestrzeni nadano na cześć niemieckiego matematyka Hermanna Minkowskiego, który opisał ją w 1907.

Spacer.gif W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Definicja iloczynu pseudoskalarnego[edytuj | edytuj kod]

Niech:

(1) jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych

(2) jest funkcjonałem na takim że dowolnym wektorom przyporządkowuje liczbę

Definicja:

Funkcję nazywa się iloczynem pseudoskalarnym, jeżeli dla dowolnych wektorów spełnia następujące warunki:

  • warunek symetrii
  • warunek liniowości ze względu na pierwszą i drugą zmienną, tj.
    gdzie – dowolna liczba rzeczywista,
  • warunek nieosobliwości
    jeśli to

Warunek 3. jest osłabieniem warunku dodatniej określoności

  • warunek dodatniej określoności, tj.

(Funkcjonał dodatnio określony, spełniający warunki 1 i 2, jest standardowym iloczynem skalarnym, wprowadzanym w przestrzeni Euklidesa).

Definicja czasoprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Czasoprzestrzenią Minkowskiego nazywa się parę złożoną z przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych (można przyjąć ), w której zdefiniowany jest iloczyn pseudoskalarny wektorów za pomocą tensora Minkowskiego – jest to tensor metryczny określony jest przez macierz:

taki że:

czyli

gdzie:

przy czym punktami czasoprzestrzeni fizycznej są tzw. zdarzenia czasoprzestrzenne, które tworzą 4 liczby: czas zajścia zdarzenia i 3 współrzędne miejsca zajścia zdarzenia.

Uwagi:

1) Tensor powyżej zdefiniowany ma sygnaturę

2) Alternatywnie niektórzy definiują tensor z przeciwnymi znakami, czyli o sygnaturze

(Tensor jest równocześnie macierzą Grama tej przestrzeni).

Znaczenie iloczynu pseudoskalarnego[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn pseudoskalarny pozwala zdefiniować pseudonormę wektorów (miarę długości wektorów) oraz pseudometrykę (miarę odległości wektorów w przestrzeni). W ten sposób iloczyn skalarny pozwala zdefiniować wszystkie wielkości geometryczne w czasoprzestrzeni, jak np. długości krzywych, kąty między nimi, pola powierzchni, objętości; dalej – pozwala to definiować operacje na polach wektorowych i ogólnie tensorowych (por. tensor energii-pędu, tensor pola elektromagnetycznego itp.), które są obecne w czasoprzestrzeni.

Długość 4-wektora. Niezmiennik[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn pseudoskalarny pozwala zdefiniować kwadrat długości wektora:

[a]

W ten sposób czasoprzestrzeń staje się przestrzenią pseudounitarną.

Niezmiennikiem geometrii nie jest odległość punktów w przestrzeni, ale interwał czasoprzestrzenny: jest to wielkość, która jest niezmiennicza ze względu na transformacje Poincarégo, tzn. nie zmienia się, przy przejściu do innego układu współrzędnych.

Współrzędne w czasoprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

W czasoprzestrzeni wprowadza się układ współrzędnych ortogonalnych.

Wektory w czasoprzestrzeni nazywa się czterowektorami.

Punkt czasoprzestrzeni utożsamia się z 4-wektorem o czterech współrzędnych W skrócie 4-wektor zapisuje się w postaci gdzie domyślnie

gdzie są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzający się wskaźnik oznacza sumowanie po nim od 0 do 3 (tzw. umowa sumacyjna Einsteina).

(6) Kwadrat długości dowolnego wektora jest wyrażony wzorem

gdzie jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy (iloczyny pseudoskalarne) dla wektorów jednostkowych

(7) Odległość między dwoma punktami o współrzędnych i określa interwał czasoprzestrzenny, którego kwadrat wynosi

Szczegolna teoria wzglednosci stozek swiatla.svg

(8) W jawnej postaci kwadrat długości wektora to

(9) Wektor nazywa się:

  • czasopodobnym, jeżeli
  • przestrzennopodobnym, jeżeli
  • światłopodobnym lub zerowym, jeżeli

(10) W przestrzeni tej może istnieć więcej niż jeden wektor zerowy. Zbiór wektorów zerowych tworzy stożek świetlny: jest to zbiór punktów czasoprzestrzeni, które można połączyć promieniem świetlnym, gdzie jest prędkością światła w próżni, poprzez nadanie warunku, iż wartość interwału czasoprzestrzennego wynosi zero (mimo że w przestrzeni trójwymiarowej dzieli je pewna odległość). Widoczność obiektu oznacza, że znajduje się on we wnętrzu stożka świetlnego obserwatora.

Grupa transformacji Poincarégo[edytuj | edytuj kod]

(1) Żąda się, aby odległość punktów w czasoprzestrzeni była niezmiennicza względem transformacji Poincarégo danej wzorem

przy czym w skład transformacji wchodzą:

a) obroty w czasoprzestrzeni, dane za pomocą macierzy obrotu takie że

Zachowanie odległości między punktami w czasoprzestrzeni przy wykonywaniu transformacji Lorentza narzuca warunki

Stąd można znaleźć postać transformacji Lorentza współrzędnych czasu i przestrzeni, zadanych macierzą

b) translacje w przestrzeni, zadane za pomocą wektora przesunięcia takie że

(2) Zbiór transformacji parametryzowany za pomocą macierzy i wektora translacji tworzy grupę Poincarégo. Transformacje Lorentza tworzą grupę Lorentza, która jest podgrupą grupy Poincarégo. Podobnie translacje tworzą osobną podgrupę. Wszystkie transformacje są ciągłe i tworzą razem grupę Liego.

Grupa translacji parametryzowana jest przez cztery parametry rzeczywiste, a grupa Lorentza przez sześć. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Noether prowadzą do odpowiednich praw zachowania układu izolowanego: zachowania czterowektora całkowitego pędu-energii i czterowektora całkowitego momentu.

Co oznacza jawna niezmienniczość równań?[edytuj | edytuj kod]

Formalizm matematyczny czasoprzestrzeni umożliwia zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina w sposób jawnie relatywistycznie niezmienniczy. Jawność ta wyraża się w tym, że wszystkie wielkości występujące w równaniach maja albo postać obiektów geometrycznych przestrzeni 4-wymiarowej, tj. są to albo skalary (liczby) albo czterowektory (czyli tensory rzędu 1-go) albo tensorów wyższego rzędu, zdefiniowane na przestrzeni 4-wymiarowej. Jeżeli zapisze się równania np. Maxwella za pomocą tensora pola elektromagnetycznego, to równania te poddane jednej czy kilku transformacji z grupy Lorentza (i ogólniej - z grupy Poincarego) przyjmą nową postać, w której pojawią się współrzędne i tensora w nowym układzie współrzędnych. Jednak związki między współrzędnymi będą wyrażały się dokładnie takimi samymi wyrażeniami algebraicznymi, jak pierwotnie. Oznacza to, że nie trzeba już sprawdzać, czy równanie jest niezmiennicze ze względu na te transformacje, jeśli jest zapisane za pomocą tensorów przestrzeni 4-wymiarowej. Taką postać równań nazywa się jawnie niezmienniczą. Oczywiście najpierw dowodzi się, że dany zespół wielkości jest tensorem.

Krzywa w przestrzeni n-wymiarowej[edytuj | edytuj kod]

Zestawimy najpierw podstawowe wiadomości o krzywych w dowolnych przestrzeniach n-wymiarowych.

Równanie parametryczne krzywej[edytuj | edytuj kod]

(1) Krzywe w dowolnej przestrzeni -wymiarowej definiuje się za pomocą równań parametrycznych

gdzie – parametr. Jako parametr można wybrać długość mierzoną wzdłuż krzywej (tzw. długość łuku).

(2) Parametr ten oznacza się zwyczajowo literą Wielkość jest wtedy różniczową długością łuku, związaną z przemieszczeniem się wzdłuż krzywej z położenia

do położenia

(3) Wektor przemieszczenia wynosi

(4) Długość tego wektora jest równa kwadratowi różniczki długości łuku

którą w przestrzeniach w ogólności nieeuklidesowych oblicza się ją ze wzoru

gdzie – tensor metryczny w punkcie

Wektor styczny do krzywej. Prędkość[edytuj | edytuj kod]

Podobnie, jeżeli krzywa jest zadana za pomocą parametru naturalnego, to wektor styczny do krzywej jest równy pochodnej wektora rodzącego krzywej po parametrze,

a długość wektora stycznego jest równa jedności, tj.

Wektor styczny do krzywej wyżej zdefiniowany nazywa się prędkością. Zauważmy, że wektor prędkości jest bezwymiarowy, gdyż zarówno różniczka współrzędnej jak i różniczka interwału mają wymiar przestrzenny.

Krzywa w czasoprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Interwał ds jako różniczkowy parametr naturalny krzywej[edytuj | edytuj kod]

W czasoprzestrzeni rolę różniczki parametru naturalnego krzywych (czyli tzw. linii świata cząstek) pełni interwał czasoprzestrzenny ds, tzn. różniczka jest różniczką długości łuku krzywej w czasoprzestrzeni. Jest tak, gdyż różniczka ta nie zmienia się po dokonaniu transformacji Lorentza do innego układu odniesienia, jest więc wielkością geometryczną.

Krzywe w czasoprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

(1) Ruch ciała w czasoprzestrzeni Minkowskiego opisuje krzywa zwana linią świata ciała, gdzie jest parametrem krzywej mierzącym jej długość.

(2) Czteroprędkość ciała

W czasoprzestrzeni definiuje się 4-wektor prędkości jako pochodną 4-wektora położenia właśnie względem parametru naturalnego s, zgodnie z ogólną zasadą definiowania wektorów stycznych do krzywych

(3) Wykonując przekształcenia, otrzyma się wzory

gdzie:

– wektor prędkości ciała w przestrzeni.

(4) Długość wektora prędkości

Długość krzywej w czasoprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Długość krzywej dana jest jako całka z przemieszczeń infinitezymalnych wzdłuż krzywej,

gdzie:

– punkty początkowy i końcowy krzywej.

Czterowektor pędu[edytuj | edytuj kod]

(1) Czterowektor pędu ciała definiuje się jako iloczyn jego masy i 4-prędkości

gdzie – masa spoczynkowa ciała.

(2) Składowe przestrzenne tego wektora mają postać

(3) Jeżeli wprowadzi się tzw. masą relatywistyczną

to wyrażenie na pęd przyjmie postać analogiczną jak fizyce nierelatywistycznej, tj.

(4) Długość wektora pędu

(5) Stąd otrzymujemy związek

przy czym współrzędne kowariantne czterowektora pędu mają postać:

Czas własny jako parametr niezmienniczy[edytuj | edytuj kod]

(1) Krzywą, wzdłuż której porusza się ciało w czasoprzestrzeni Minkowskiego, można sparametryzować za pomocą parametru zwanego czasem własnym, który wiąże się z interwałem prostą zależnością

Parametr jest czasem mierzonym za pomocą zegara, który porusza się wraz z ciałem.

(2) Krzywą opisują wtedy równania

(3) Czas mierzony w układzie, w którym podaje się współrzędne ciała jest związany ze współrzędną 0-wą jest parametrem niezmienniczym ze względu na transformacje Poincarégo i wiąże się z czasem wzorem:

(5) Niektórzy definiują 4-prędkość jako pochodną 4-wektora położenia względem czasu własnego (zamiast względem interwału s); wtedy mamy:

Wzór ten różni się od poprzedniej definicji współczynnikiem

Historia[edytuj | edytuj kod]

Minkowski wprowadził pojęcie czasoprzestrzeni, którego używał w swoim opisie Einstein. Przyjął, że osie układu współrzędnych będą oznaczane symbolami gdzie

gdzie

Wtedy interwał czasoprzestrzenny przyjmował formalnie wyrażenie analogiczne do wyrażenia na odległość w trójwymiarowej przestrzeni:

Przestrzeń Minkowskiego nie staje się jednak przez to przestrzenią rzeczywistą 4-wymiarową, bo współrzędna odpowiadająca czasowi jest wielkością urojoną. Zespolona współrzędna czasowa powoduje, że metryka czasoprzestrzeni jest pseudoeuklidesowa.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Inne:

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Istotne jest to, że definiujemy kwadrat długości wektora, a nie samą długość, gdyż wzór może nie mieć sensu, ponieważ może być ujemne.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola. Warszawa: PWN, 2009.
  • G. Białkowski, Mechanika klasyczna, Warszawa: PWN, 1975.