Czasoprzestrzeń Minkowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Czasoprzestrzeń Minkowskiegoprzestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z przestrzenią trówymiarową umożliwia formalny zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który opisał ją w 1907.

Ujęcie matematyczne[edytuj | edytuj kod]

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Czasoprzestrzeń Minkowskiego formalnie jest czterowymiarową przestrzenią liniową M nad ciałem liczb rzeczywistych, w której zdefiniowana jest forma (funkcjonał) \langle \cdot, \cdot \rangle, nazywana iloczynem wewnętrznym, spełniająca warunki:

  1. dwuliniowości:
    \langle a\mathbf u + \mathbf v, \mathbf w \rangle = a\langle \mathbf u, \mathbf w \rangle + \langle \mathbf v, \mathbf w \rangle dla wszystkich a \in \mathbb R, \mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \in M
  2. symetryczności:
    \langle \mathbf v, \mathbf w \rangle = \langle \mathbf w, \mathbf v \rangle
  3. niezdegenerowania:
    jeśli dla wszystkich \mathbf w \langle \mathbf v, \mathbf w \rangle = 0, to \mathbf v = 0

Warunek 3. jest osłabieniem warunku dodatniej określoności (każdy funkcjonał dodatnio określony jest niezdegenerowany, ale nie na odwrót). Iloczyn zewnętrzny pozwala zdefiniować "długość" wektora wzorem

|\mathbf u|^2 = \langle \mathbf u, \mathbf u \rangle

Wektory jednostkowe oznaczone są symbolem \mathbf e, przy czym z definicji |\mathbf e| = 1. Punkt p czasoprzestrzeni utożsamia się z wektorem \mathbf x o czterech współrzędnych \mathbf x^\mu, \mu = (0, 1, 2, 3)

\mathbf x = \mathbf x^\mu\mathbf e_\mu

gdzie \mathbf e_\mu są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzający się wskaźnik oznacza sumowanie po nim od 0 do 3 (tzw. umowa sumacyjna Einsteina). Długość dowolnego wektora podniesiona do kwadratu jest wyrażona wzorem

|\mathbf x|^2 = \langle \mathbf x^\mu\mathbf e_\mu, \mathbf x^\nu\mathbf e_\nu \rangle = \mathrm g_{\mu\nu}\mathbf x^\mu\mathbf x^\nu,

gdzie \mathrm g jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy dla wektorów jednostkowych

\mathrm g_{\mu\nu}= \langle \mathbf e_\mu, \mathbf e_\nu \rangle

Odległość między dwoma punktami o współrzędnych (\mathbf x + d\mathbf x)^\mu i \mathbf x^\mu określa odległość (interwał czasoprzestrzenny)

d\mathbf s^2 = \mathrm g_{\mu\nu} d\mathbf x^\mu d\mathbf x^\nu

Tensor metryczny określony jest przez macierz

\mathrm g_{\mu\nu}= \eta_{\mu\nu}=
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
Szczegolna teoria wzglednosci stozek swiatla.svg

W jawnej postaci długość wektora \mathbf z to

|\mathbf x|^2 = (\mathbf x^0)^2 - (\mathbf x^1)^2 - (\mathbf x^2)^2 - (\mathbf x^3)^2.

Wektor \mathbf x nazywa się:

  • czasopodobnym, jeżeli |\mathbf x|^2 > 0,
  • przestrzennopodobnym, jeżeli |\mathbf x|^2 < 0,
  • światłopodobnym lub zerowym, jeżeli |\mathbf x|^2 = 0.

W przestrzeni tej może istnieć więcej niż jeden wektor zerowy. Zbiór wektorów światłopodobnych nazywa się stożkiem świetlnym. Jest to zbiór punktów czasoprzestrzeni, które można połączyć promieniem świetlnym, \mathbf x^0 = ct, gdzie c jest prędkością światła w próżni, poprzez przyrównanie wartości interwału czasoprzestrzennego do zera (w przestrzeni trójwymiarowej dzieli je pewna odległość). Wzajemna widoczność dwóch obiektów oznacza, że znajdują się one we wnętrzu stożka świetlnego obserwatora.

Odległość w czasoprzestrzeni niezmiennicza jest względem transformacji Poincarégo danej wzorem

\mathbf x^\mu \mapsto {x'}^\mu = \Lambda^\mu_\nu \mathbf x^\nu + \mathbf a^\mu.

Zbiór takich transformacji parametryzowanych za pomocą macierzy \Lambda i wektora translacji \mathbf a tworzy grupę Poincarégo. Zachowanie odległości w czasoprzestrzeni narzuca warunki

\mathrm g_{\mu\nu} \Lambda^\mu_\rho \Lambda^\nu_\tau = \mathrm g_{\rho\tau}.

Są to macierze Lorentza, które zawierają transformację Lorentza współrzędnych czasu i przestrzeni. Tworzą one grupę Lorentza, która jest podgrupą grupy Poincarégo:

\mathbf x^\mu \to {\mathbf x'}^\mu = \Lambda^\mu_\nu \mathbf x^\nu.

Ponieważ transformacja Poincarego zawiera dodatkową translację, również to przekształcenie tworzy osobną podgrupę:

\mathbf x^\mu \to {\mathbf x'}^\mu = \mathbf \mathbf x^\mu + \mathbf a^\mu.

Wszystkie są ciągłymi grupami Liego. Grupa translacji parametryzowana jest przez cztery parametry rzeczywiste, a grupa Lorentza przez sześć. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Noether prowadzą do odpowiednich praw zachowania w fizyce.

Ruch w czasoprzestrzeni Minkowskiego opisuje trajektoria \mathbf x^\mu(\tau), gdzie \tau jest parametrem niezmienniczym (tzn. nie jest czasem). Np. można zdefiniować c d\tau = d\mathbf s, gdzie \mathbf s jest interwałem czasoprzestrzennym, \tau nazywa się czasem własnym.

d \tau = dt \sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}.

Analogicznie do wektora prędkości w przestrzeni trójwymiarowej zdefiniować można czterowektor prędkości

\mathbf u^\mu = \frac{d\mathbf x^\mu}{d\tau} = \left\{\frac{c}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}} \frac{d\mathbf x^i}{dt}\right\}

i czterowektor pędu

\mathbf p^\mu = m \mathbf u^\mu.

Wektor pędu (\mu = i = \{1, 2, 3\}) w fizyce relatywistycznej ma postać

\mathbf p^i = m \mathbf u^i = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}} \frac{d\mathbf x^i}{dt} = m(\mathbf v)\frac{d\mathbf x^i}{dt}

identyczną jak fizyce nierelatywistycznej, jeżeli zamienimy masę spoczynkową m na masę relatywistyczną

m(v)=\frac{m}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^2}{c^2}}}.

Wielkości te nie są niezależne

\mathbf u^\mu u_\mu = \mathrm g_{\mu\nu}\mathbf u^\mu \mathbf u^\nu = c^2

i podobnie

\mathbf p^\mu \mathbf p_\mu = \mathrm g_{\mu\nu} \mathbf p^\mu \mathbf p^\nu = m^2 c^2

Stąd otrzymujemy związek

\mathbf p_0 = \frac{E_\mathbf p}{c} = \pm \sqrt{\mathbf p^2 + m^2 c^2}

i współrzędne kowariantne czterowektora pędu:

(p_0,p_1,p_2,p_3) = (p^0,-p^1,-p^2,-p^3).

Historia[edytuj | edytuj kod]

Minkowski wprowadził pojęcie czasoprzestrzeni, którego używał w swoim opisie Einstein.

Przyjął, że osie układu współrzędnych będą oznaczane przez x z indeksem xi, i= {1,2,3,4}. Współrzędne przestrzenne i czas przekształcają się na nowe współrzędne w następujący sposób:

 x^1 = x \,
 x^2 = y \,
 x^3 = z \,
 x^4 = ict \,

gdzie  i = \sqrt{-1} \,

W przestrzeni tej "odległość" (interwał czasowoprzestrzenny) określony jest tak jak odległość w trójwymiarowej przestrzeni:

 S^2 = (x^1)^2 + (x^2)^2 +(x^3)^2 + (x^4)^2 \,

Przestrzeń ta nie jest jednak przestrzenią rzeczywistą, bo współrzędna odpowiadająca czasowi jest wielkością urojoną. Zespolona współrzędna czasowa powoduje także, że metryka czasoprzestrzeni jest inna niż przestrzeni euklidesowej.