Czasoprzestrzeń Minkowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Czasoprzestrzeń Minkowskiegoprzestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z trójwymiarową przestrzenią fizyczną umożliwia formalny zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina.

Nazwę zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który opisał ją w 1907.

Ujęcie matematyczne[edytuj]

Spacer.gif W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Wektorowa czasoprzestrzeń Minkowskiego jest rzeczywistą przestrzenią wektorową zadaną przez parę złożoną z przestrzeni w której definiujemy iloczyn skalarny wektorów za pomocą tensora Minkowskiego który jest równocześnie macierzą Grama tej przestrzeni.

Iloczyn semi-skalarny wektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego ma następujące właściwości:

  1. dwuliniowość:
    dla wszystkich
  2. symetryczność:
  3. nieosobliwość:
    Jeśli , to

Warunek 3. jest osłabieniem warunku dodatniej określoności (każdy funkcjonał dodatnio określony jest niezdegenerowany, ale nie na odwrót).

Iloczyn zewnętrzny pozwala zdefiniować kwadrat normy wektora:

Punkt p czasoprzestrzeni utożsamia się z wektorem o czterech współrzędnych

gdzie są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzający się wskaźnik oznacza sumowanie po nim od 0 do 3 (tzw. umowa sumacyjna Einsteina).

Długość dowolnego wektora podniesiona do kwadratu jest wyrażona wzorem

,

gdzie jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy dla wektorów jednostkowych

Odległość między dwoma punktami o współrzędnych i określa interwał czasoprzestrzenny(dla wygody często warto posługiwać się kwadratem tej wielkości):

Tensor metryczny określony jest przez macierz:

Szczegolna teoria wzglednosci stozek swiatla.svg

W jawnej postaci kwadrat długości wektora to

.

Wektor nazywa się:

  • czasopodobnym, jeżeli ,
  • przestrzennopodobnym, jeżeli ,
  • światłopodobnym lub zerowym, jeżeli .

W przestrzeni tej może istnieć więcej niż jeden wektor zerowy. Zbiór wektorów światłopodobnych nazywa się stożkiem świetlnym. Jest to zbiór punktów czasoprzestrzeni, które można połączyć promieniem świetlnym, , gdzie jest prędkością światła w próżni, poprzez przyrównanie wartości interwału czasoprzestrzennego do zera (w przestrzeni trójwymiarowej dzieli je pewna odległość). Wzajemna widoczność dwóch obiektów oznacza, że znajdują się one we wnętrzu stożka świetlnego obserwatora.

Odległość w czasoprzestrzeni niezmiennicza jest względem transformacji Poincarégo danej wzorem

.

Zbiór takich transformacji parametryzowanych za pomocą macierzy i wektora translacji tworzy grupę Poincarégo. Zachowanie odległości w czasoprzestrzeni narzuca warunki

.

Są to macierze Lorentza, które zawierają transformację Lorentza współrzędnych czasu i przestrzeni. Tworzą one grupę Lorentza, która jest podgrupą grupy Poincarégo:

.

Ponieważ transformacja Poincarego zawiera dodatkową translację, również to przekształcenie tworzy osobną podgrupę:

.

Wszystkie są ciągłymi grupami Liego. Grupa translacji parametryzowana jest przez cztery parametry rzeczywiste, a grupa Lorentza przez sześć. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Noether prowadzą do odpowiednich praw zachowania w fizyce.

Ruch w czasoprzestrzeni Minkowskiego opisuje trajektoria , gdzie jest parametrem niezmienniczym (tzn. nie jest czasem). Np. można zdefiniować , gdzie jest interwałem czasoprzestrzennym, nazywa się czasem własnym.

Analogicznie do wektora prędkości w przestrzeni trójwymiarowej zdefiniować można czterowektor prędkości

i czterowektor pędu

.

Wektor pędu () w fizyce relatywistycznej ma postać

identyczną jak fizyce nierelatywistycznej, jeżeli zamienimy masę spoczynkową na masę relatywistyczną

Wielkości te nie są niezależne

i podobnie

Stąd otrzymujemy związek

i współrzędne kowariantne czterowektora pędu:

Historia[edytuj]

Minkowski wprowadził pojęcie czasoprzestrzeni, którego używał w swoim opisie Einstein.

Przyjął, że osie układu współrzędnych będą oznaczane przez x z indeksem xi, i= {1,2,3,4}. Współrzędne przestrzenne i czas przekształcają się na nowe współrzędne w następujący sposób:

gdzie

W przestrzeni tej "odległość" (interwał czasowoprzestrzenny) określony jest tak, jak odległość w trójwymiarowej przestrzeni:

Przestrzeń ta nie jest jednak przestrzenią rzeczywistą, bo współrzędna odpowiadająca czasowi jest wielkością urojoną. Zespolona współrzędna czasowa powoduje także, że metryka czasoprzestrzeni jest inna niż przestrzeni euklidesowej.