Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa

Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa (równanie TOV) – szczególny przypadek równań Einsteina, jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym równaniem stanu. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy gwiazd o bardzo silnym polu grawitacyjnym (na przykład gwiazd neutronowych).

Założenia

Poniżej przedstawiono zarys wyprowadzenia równania. Ogólną metrykę sferycznie symetrycznego i niezależnego od czasu rozkładu materii można zapisać w następujący sposób:

$ds^{2}=e^{\nu (r)}c^{2}dt^{2}-e^{\lambda (r)}dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),\,$

gdzie standardowo t jest współrzędną czasową, r radialną a θ i φ kątowymi (odpowiednio, zenitalną i azymutalną). Zakładamy także, że materia jest nielepka, nie przewodzi ciepła i nie wykazuje napięć ścinających tj. tensor napięć-energii jest taki jak dla płynu doskonałego w Ogólnej Teorii Względności. Biorąc pod uwagę barotropowe równanie stanu (ciśnienie p jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ρ), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną ν(r):

${\frac {d\nu (r)}{dr}}=-{\frac {2}{P(r)+\rho (r)c^{2}}}{\frac {dP(r)}{dr}},$

funkcją λ(r):

$e^{\lambda (r)}={\frac {1}{(1-2GM(r)/rc^{2})}},$

a także związek pomiędzy masą zawartą w sferze o promieniu r a promieniem tej sfery, M(0)=0:

${\frac {dM(r)}{dr}}=4\pi \rho (r)r^{2}.$

Przy tych założeniach równania Einsteina redukują się do

${\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4{\pi }r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1},$

Rozwiązanie równania TOV dla dwu reprezentatywnych równań stanu. Linia czerwona: gwiazda neutronowa (skład materii: npeμ, oddziaływanie jądrowe typu Skyrme-Lyon. Linia niebieska: "naga" (tj. bez skorupy) gwiazda kwarkowa o równaniu stanu opisywanym modelem "worka" MIT o stałej sprzężenia α=0.17, stałej worka B=60 MeV/fm³, masie kwarku dziwnego m_s=200 MeV. Kropkami zaznaczono masy maksymalne (granice TOV).

równanie TOV jest zatem niutonowskim równaniem równowagi hydrostatycznej zmodyfikowanym przez człony relatywistyczne (w nawiasach).

Warunki brzegowe

Jeśli równanie opisuje gwiazdę w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych:

• znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, p(R) = 0 (warunek ten wyznacza współrzędną r = R, czyli promień gwiazdy),
• zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym metryką Schwarzschilda:

dla r≥R funkcja metryczna e^ν(r) = 1 - 2GM/rc², gdzie M jest całkowitą grawitacyjną masą gwiazdy mierzoną przez odległego obserwatora.

Masa grawitacyjna, masa właściwa, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej

Całkowita masa grawitacyjna M gwiazdy (mierzona przez odległego obserwatora znajdującego się np. na orbicie wokół gwiazdy) i występująca w metryce dla odległości większych od promienia gwiazdy R wyraża się następującym wzorem:

$M=M_{g}(R)=4\pi \int _{0}^{R}\rho (r)r^{2}dr\,.$

Pamiętając o tym, że element objętości dV pomiędzy sferami o promieniach r oraz r + dr jest równy

$dV={\frac {4\pi r^{2}dr}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}}\,,$

można definiować dwie inne charakterystyczne masy wynikające z równania TOV. Masą właściwą M_p gwiazdy nazywa się całkę gęstości masy-energii po objętości biorąc pod uwagę lokalne zakrzywienie przestrzeni przez masę M(r),

$M_{p}=M_{p}(R)=\int _{0}^{R}\rho dV=4\pi \int _{0}^{R}{\frac {\rho (r)r^{2}dr}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}}\,.$

Jako, że

${\frac {1}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}}\geq 1\implies M_{p}\geq M_{g}\,.$

Liczba barionów w objętości gwiazdy jest równa

$A_{b}=4\pi \int _{0}^{R}{\frac {n_{b}(r)r^{2}dr}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}}\,,$

gdzie n_b(r) jest gęstością barionową tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo fm³). A_b dla gwiazdy neutronowej o typowej masie grawitacyjnej 1,4 masy Słońca jest rzędu 10⁵⁷ cząstek.

Diagram masa-promień dla sferycznej gwiazdy o stałej gęstości 10¹⁵ g/cm³ (linia czerwona), z zaznaczoną masą maksymalną (czerwona kropka) wynikającą z ograniczenia pochodzącego z rozwiązania równania TOV (niebieska linia).

Masa barionowa (zwana również masą spoczynkową) jest równa liczbie barionowej A_b gwiazdy mnożonej przez masę barionu m_b≈m_n:

$M_{b}=m_{b}A_{b}\,.$

Zdefiniowane wyżej masy używa się do obliczenia energii wiązania. Różnica

$E_{G}=\left(M_{g}-M_{p}\right)c^{2}\,.$

jest energią grawitacyjną gwiazdy (energią zmagazynowaną w gwieździe, którą można odzyskać przenosząc małe elementy dm do nieskończoności). Grawitacyjna energia wiązania to

$BE_{G}=-E_{B}=\left(M_{p}-M_{g}\right)c^{2}\,.$

Energia wewnętrzna gwiazdy (energia pochodząca z równania stanu, bez uwzględnienia gęstości spoczynkowej) to

$E_{I}=\left(M_{p}-M_{b}\right)c^{2}\,,$

z podobnie jak poprzednio zdefiniowaną wewnętrzną energią wiązania

$BE_{I}=-E_{I}=\left(M_{b}-M_{p}\right)c^{2}\,.$

Całkowita energia wiązania gwiazdy to zatem

$BE=BE_{G}+BE_{I}=\left(M_{b}-M_{g}\right)c^{2}\,.$

Dla typowego równania stanu, gwiazda neutronowa o masie M=1,4 masy Słońca jest związana energią wiązania BE≈0,1M.

Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej

W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. należy otrzymać numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu ρ = const. Mamy wtedy:

$M(r)={\frac {4}{3}}\pi \rho r^{3}.$

Korzystając z tego związku równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy:

${\frac {p(r)}{\rho }}={\frac {{\sqrt {1-2GMr^{2}/R^{3}c^{2}}}-{\sqrt {1-2GM/Rc^{2}}}}{3{\sqrt {1-2GM/Rc^{2}}}-{\sqrt {1-2GMr^{2}/R^{3}c^{2}}}}}\,$

Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, p_c = p(r=0). Warunek p_c = ∞ stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy:

${\frac {2GM}{Rc^{2}}}<{\frac {8}{9}}\,.$

Ograniczenie to, dla ustalonej gęstości, wyznacza maksymalną masę gwiazdy, czyli granicę TOV.

Historia

Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku 1939 w czasopiśmie naukowym "Physical Review" przez Roberta Oppenheimera i Georga M. Volkoffa w artykule pt. "On Massive Neutron Cores", jednak fundamentalne znaczenie mają prace Richarda C. Tolmana z roku 1934, pt. "Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models" oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid", w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.