Sprzężenie izotomiczne

Konstrukcja sprzężenia izotomicznego punktu $P$ trójkąta $\Delta ABC.$ Na niebiesko zaznaczono proste przechodzące przez wierzchołki oraz punkt $P.$ Punkty $A',B',C'$ są punktami przecięcia tych prostych z odpowiednimi bokami. Punkty $D,E,F$ są środkami boków. Punkty $A'',B'',C''$ są równoodległe od punktów $D,E,F,$ co punkty $A',B',C'.$ Na czerwono zaznaczono proste izotomiczne do prostych niebieskich oraz wspólny punkt ich przecięcia – sprzężenie izotomiczne punktu $P.$

Sprzężenie izotomiczne punktu w trójkącie to inny punkt, określony jednoznacznie poprzez trójkąt oraz położenie punktu wyjściowego punktu.

Definicja i nomenklatura

Niech dany będzie trójkąt $\Delta ABC$ oraz punkt $P$ wewnątrz niego. Poprowadźmy półproste wychodzące z wierzchołków trójkąta, przecinające przeciwległe boki (tzw. czewiany) i przechodzące poprzez punkt $P.$ Oznaczmy poprzez $A',B',C'$ ich przecięcie z odpowiednimi bokami trójkąta. Odbijmy każdy z punktów $A',B',C'$ poprzez środki odpowiednich boków trójkąta i oznaczmy obrazy tych punktów poprzez $A'',B'',C''.$ Poprowadźmy teraz proste $AA'',BB'',CC''.$ Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy, proste te również przetną się w jednym punkcie $P'$ (jako że długości odcinków na które punkty $A',B',C'$ oraz $A'',B'',C''$ dzielą boki są takie same). Punkt ten nazywamy sprzężeniem izotomicznym punktu $P$.

Ponadto, proste $AA'',BB'',CC''$ nazywane są prostymi izotomicznymi do prostych $AA',BB',CC',$ a punkty $A'',B'',C''$ punktami izotomicznymi do punktów $A',B',C'$.

Współrzędne

Jeśli oznaczmy długości boków trójkąta poprzez $a,b,c,$ a współrzędne trójliniowe punktu $P$ poprzez $p:q:r,$ to współrzędne sprzężenia izotomicznego punktu $P$ wynoszą

$a^{-2}p^{-1}:b^{-2}q^{-1}:c^{-2}r^{-1}.$

Punkty o współrzędnych barycentrycznych $(x,y,z)$ oraz $(x',y',z')$ są sprzężone izotomicznie, gdy zachodzi

$xx'=yy'=zz'.$

Własności

Z definicji, jeśli $P'$ jest sprzężeniem izotomicznym punktu $P,$ to sprzężeniem punktu $P'$ będzie sam punkt $P.$

Sprzężeniem izotomicznym centroidu trójkąta (przecięcia wszystkich środkowych) jest z definicji sam centroid.

Poniższe pary punktów są względem siebie sprzężone izotomicznie:

• punktu Nagela oraz punkt Gergonne'a,
• trzeci punkt Brocarda i punkt przecięcia symedian (zwany punktem Lemoine’a),
• ortocentrum trójkąta i punkt przecięcia symedian jego trójkąta antydopełniającego.

Zobacz też

• sprzężenie izogonalne

Bibliografia

• O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Isotomic Conjugate., [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• John Casey: A Treatise on the Analytical Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, Containing an Account of Its Most Recent Extensions with Numerous Examples. Dublin: Hodges, Figgis, Co., 1893.
• Theory of Isogonal and Isotomic Points, and of Antiparallel and Symmedian Lines.. W: John Casey: A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples. Wyd. 3. Dublin: Hodges, Figgis, Co., 1886.
• Robert Lachlan: An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. Macmillan and Co., 1893.brak strony w książce
• Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.
• S.I. Zetel: Geometria trójkąta. Andrzej Mąkowski (tłum.). Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1964.